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Radial basis function methods for optimal control of the convection-diffusion equation: A numerical study

机译：对流扩散方程最优控制的径向基函数方法：数值研究

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In this paper, we perform a numerical study for the solution of optimal constrained optimization problems for linear convection-diffusion PDEs by local and global radial basis function techniques. To the best of our knowledge, these control problems have not been treated in the literature by RBFs methods. It is well-known that the algebraic system of RBFs methods presents a larger condition number and a higher numerical complexity as the number of nodes (or shape parameter), increases. In this work, and in the context of optimal constrained optimization problems, we explore a possible answer to both problems. Specifically, we introduce a local RBF method (denoted as LAM-DQ), based on the combination of an asymmetric RBFs local method (LAM), inspired in local Hermite interpolation (LHI), combined with the differential quadrature method (DQ). We also propose a preconditioning technique that in combination with extended arithmetic precision let us treat the ill-conditioning problem. We numerically prove that as the number of nodes increases, then for errors of the same order, the condition number remains tractable, in quad-precision, and the numerical complexity of the local method remains bounded.
机译：在本文中，我们通过局部和全局径向基函数技术对线性对流扩散PDE的最优约束优化问题的解进行了数值研究。据我们所知，RBFs方法尚未在文献中解决这些控制问题。众所周知，随着节点（或形状参数）数量的增加，RBFs方法的代数系统呈现出更大的条件数和更高的数值复杂性。在这项工作中，在最优约束优化问题的背景下，我们探索了对这两个问题的可能答案。具体来说，我们基于非对称RBFs局部方法（LAM）的组合，引入局部Hermite内插法（LHI），并结合微分正交方法（DQ），引入了局部RBF方法（称为LAM-DQ）。我们还提出了一种预处理技术，该技术与扩展的算术精度相结合，使我们可以处理不良条件问题。我们用数值方法证明，随着节点数的增加，对于相同阶数的错误，条件数保持四分之一精度，并且局部方法的数值复杂度仍然有限​​。

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