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【24h】

Spherical rigidities of submanifolds in Euclidean spaces

机译：欧氏空间中子流形的球形刚度

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In this paper, we study n-dimensional complete immersed submanifolds in a Euclidean space E~(n+p). We prove that if M~n is an n-dimensional compact connected immersed submanifold with nonzero mean curvature H in E~(n+p) and satisfies either: (1) S ≤ ((n~2H~2)/(n-1)') or (2) n~2H~2 ≤ (((n-1)R)/(n-2)') then M~n is diffeomorphic to a standard n-sphere, where S and R denote the squared norm of the second fundamental form of M~n and the scalar curvature of M~n, respectively. On the other hand, in the case of constant mean curvature, we generalized results of Klotz and Osserman to arbitrary dimensions and codimensions; that is, we proved that the totally umbilical sphere S~n(c), the totally geodesic Euclidean space E~n, and the generalized cylinder S~(n-1)(c) x E~1 are only n-dimensional (n > 2) complete connected submanifolds M~n with constant mean curvature H in E~(n+P) if S ≤ n~2H~2 / (n-1) holds.
机译：在本文中，我们研究了欧氏空间E〜（n + p）中的n维完全沉浸子流形。我们证明如果M〜n是E〜（n + p）中具有非零平均曲率H的n维紧连通沉浸式子流形，并且满足以下条件之一：（1）S≤（（n〜2H〜2）/（n- 1）'）或（2）n〜2H〜2≤（（（（n-1）R）/（n-2）'），则M〜n对标准n球面是微晶的，其中S和R表示第二基本形式的M〜n的平方范数和M〜n的标量曲率。另一方面，在平均曲率恒定的情况下，我们将Klotz和Osserman的结果推广到任意尺寸和余维。也就是说，我们证明了总脐球S〜n（c），总测地欧氏空间E〜n和广义圆柱S〜（n-1）（c）x E〜1只是n维的（ n> 2）如果S≤n〜2H〜2 / /（n-1）成立，则在E〜（n + P）中具有恒定平均曲率H的完全连通子流形M〜n。

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