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首页> 外文期刊>Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik >A generalized Rayleigh quotient iteration for computing simple eigenvalues of nonnormal matrices
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A generalized Rayleigh quotient iteration for computing simple eigenvalues of nonnormal matrices

机译：用于计算非正规矩阵简单特征值的广义瑞利商迭代

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A Newton type method for approximating eigenpairs of nonnormal matrices is proposed. It takes fall advantage of known approximations and circumvents shortcomings of Newton's method applied to the nonlinear system Ax - x lambda = 0, (x(T) x - 1)/2 = 0 caused by a possibly ill-conditioned Jacobian. The eigenvalue problem is considered as a nonlinear parameter dependent system of equations F(x, lambda) = Ax - x lambda = 0 without a normalization condition. If lambda is an eigenvalue of A then (0, lambda) is a bifurcation point on the solution manifold of the system. In the paper, a bifurcation point algorithm proposed by Griewank/Reddien and modified by Allgower/Schwetlick is adapted to the case of computing a simple eigenvalue and the corresponding right and left eigenvector of a nonnormal matrix. The extended algorithm with udapted bordering vectors can be viewed as generalized Rayleigh quotient iteration. Surprisingly it turns out that, unlike Newton's method and standard Rayleigh quotient iteration, these algorithms coming from nonlinear analysis, automatically give the right bordering directions, and the linear systems to be solved per step have uniformly bounded condition numbers. The algorithms are analyzed, and numerical comparisons with other algorithms of Rayleigh quotient iteration type are given. [References: 29]
机译：提出了一种近似非正规矩​​阵本征对的牛顿型方法。它利用了已知近似值的优势，并规避了牛顿方法应用于非线性系统Ax-x lambda = 0，（x（T）x-1）/ 2 = 0的缺点，该问题可能是由条件欠佳的Jacobian引起的。特征值问题被视为方程组F（x，lambda）= Ax-x lambda = 0的非线性参数相关系统，没有归一化条件。如果lambda是A的特征值，则（0，lambda）是系统溶液流形上的分叉点。在本文中，由Griewank / Reddien提出并由Allgower / Schwetlick修改的分叉点算法适用于计算简单特征值以及非正规矩阵的相应左右特征向量的情况。具有不适当边界向量的扩展算法可以看作是广义瑞利商迭代。令人惊讶的是，与牛顿方法和标准瑞利商迭代不同，这些算法来自非线性分析，自动给出正确的边界方向，并且每步要求解的线性系统具有统一有界的条件数。分析了算法，并给出了与其他瑞利商迭代类型算法的数值比较。 [参考：29]

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