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Equal opportunity networks, distance-balanced graphs, and Wiener game

机译：机会均等网络，距离平衡图和维纳游戏

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Given a graph G and a set X ? V(G), the relative Wiener index of X in G is defined as W_X (G) = d_G(u, v). The graphs G (of even order) in which for every partition V(G) = V1 +V2 of the vertex set V(G) such that |V1| = |V2| we haveW_(V1) (G) = W_(V2) (G) are called equal opportunity graphs. In this note we prove that a graph G of even order is an equal opportunity graph if and only if it is a distance-balanced graph. The latter graphs are known by several characteristic properties, for instance, they are precisely the graphs G in which all vertices u ∈ V(G) have the same total distance D_G(u) = d_G(u, v). Some related problems are posed along the way, and the so-called Wiener game is introduced.
机译：给定图G和集合X？ V（G），G中X的相对维纳指数被定义为W_X（G）= d_G（u，v）。图G（偶数阶），其中对于每个分区V（G）=顶点集V（G）的V1 + V2，使得| V1 | = | V2 |我们有W_（V1）（G）= W_（V2）（G）被称为等机会图。在本说明中，我们证明了偶数阶图G当且仅当它是距离平衡图时，才是机会均等图。后面的图通过几个特征属性而已知，例如，它们正是图G，其中所有顶点u∈V（G）具有相同的总距离D_G（u）= d_G（u，v）。在此过程中提出了一些相关的问题，并介绍了所谓的维纳游戏。

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