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On Gorenstein flat dimension

机译：在Gorenstein平面尺寸上

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The theory of Gorenstein flat dimension is not complete since it is not yet known whether the category GF(R) of Gorenstein flat modules over a ring R is projectively resolving or not. Besides, it arises from recent investigations on this subject that there exists several ways of measuring the Gorenstein flat dimension of modules which turn out to coincide with the usual one in the case where GF(R) is projectively resolving. These alternate procedures yield new invariants which enjoy very nice behavior for an arbitrary ring R. In this paper, we introduce and study one of these invariants called the cover Gorenstein flat dimension of a module M and denoted by CGfd(R)(M). This new entity stems from a sort of a Gorenstein flat precover of M. First, for each R-module M, we prove that Gfd(R)(M) <= CGfd(R)(M) for each R-module M with Gfd(R)(M) = Gid(R)(Hom(Z)(M, Q/Z)) = CGfd(R)(M) whenever CGfd(R)(M) is finite. Also, we show that GF(R) is projectively resolving if and only if the Gorenstein flat dimension and the introduced cover Gorenstein flat dimension coincide. In particular, if R is a right coherent ring, then CGfd(R)(M) = Gfd(R)(M) for any R-module M. As a consequence, we prove that if R is a left and right GF-closed, then the Gorenstein weak global dimension of R is left-right symmetric and it is related to the cohomological invariants leftsfli(R) and rightsfli(R) by the formula l-G-wgldim(R) = r-G-wgldim(R) = max{leftsfli(R), rightsfli(R)}.
机译：Gorenstein平面尺寸的理论尚不完整，因为尚不知道环R上的Gorenstein平面模块的GF（R）类别是否是射影解析的。此外，从对该问题的最新研究得出，存在几种测量模块的Gorenstein平面尺寸的方法，这些方法证明与GF（R）投影解析的情况下的常规方法一致。这些替代过程产生了新的不变量，这些不变量对于任意环R都具有很好的性能。在本文中，我们介绍并研究了这些不变量之一，称为模M的Cover Gorenstein平面尺寸，用CGfd（R）（M）表示。这个新实体源于M的Gorenstein平面预盖。首先，对于每个R-模块M，我们证明每个R-模块M的Gfd（R）（M）<= CGfd（R）（M）具有只要CGfd（R）（M）是有限的，Gfd（R）（M）= Gid（R）（Hom（Z）（M，Q / Z））= CGfd（R）（M）。而且，我们表明，当且仅当Gorenstein平面尺寸和引入的Cover Gorenstein平面尺寸一致时，GF（R）才是射影解析。特别是，如果R是一个右相干环，那么对于任何R-模块M，CGfd（R）（M）= Gfd（R）（M）。因此，我们证明了如果R是左，右GF-闭合，则R的Gorenstein弱全局维是左右对称的，并且通过公式lG-wgldim（R）= rG-wgldim（R）= max与同调不变量leftsfli（R）和rightfli（R）相关{leftsfli（R），rightsfli（R）}。

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