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A new inequality for bipartite distance-regular

机译：二分距离正则的一个新的不等式

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摘要

Let Gamma denote a bipartite distance-regular graph with diameter D greater than or equal to 4 and valency k greater than or equal to 3. Let theta denote an eigenvalue of Gamma other than k and -k and consider the associated cosine sequence, sigma(0,)sigma(1),..,sigma(D.). We show (sigma(1) - sigma(i+1))(sigma(1) - sigma(i-1))greater than or equal to(sigma(2) - sigma(i))(sigma(0) - sigma(i)) for 1 less than or equal to i less than or equal to D - 1. We show the following are equivalent: (i) equality is attained above for i = 3, (ii) equality is attained above for 1 less than or equal to i less than or equal to D - 1, (iii) there exists a real scalar beta such that sigma(i- 1) - betasigma(i) + sigma(i+1) is independent of i for 1 less than or equal to i less than or equal to D - 1. We say theta is three-term recurrent (or TTR) whenever (i)-(iii) are satisfied. We discuss the connection between TTR eigenvalues and the Q-polynomial property. When an eigenvalue is TTR, we find formulae for the intersection numbers and eigenvalues of Gamma in terms of at most two free parameters, classifying Gamma if beta = +/-2. Among the eigenvalues of Gamma in their natural order, we consider which can be TTR. We show Gamma can have at most three distinct TTR eigenvalues. We show Gamma has three distinct TTR eigenvalues if and only if Gamma is 2-homogeneous in the sense of Curtin and Nomura. We show Gamma has exactly two distinct TTR eigenvalues if and only if Gamma is antipodal with diameter 5, but not 2-homogeneous. (C) 2003 Elsevier Inc. All rights reserved. [References: 12]
机译：令Gamma表示直径D大于或等于4且化合价k大于或等于3的二分距离正则图。θ表示k和-k以外的Gamma的特征值，并考虑相关的余弦序列sigma（ 0，）sigma（1），..，sigma（D。）。我们证明（sigma（1）-sigma（i + 1））（sigma（1）-sigma（i-1））大于或等于（sigma（2）-sigma（i））（sigma（0）- sigma（i））等于或小于1等于i-等于或小于D-1。我们显示以下等价关系：（i）对于i = 3等于或以上，（ii）对于1等于或以上小于或等于i小于或等于D-1，（iii）存在一个实标量beta，使得sigma（i-1）-betasigma（i）+ sigma（i + 1）与i无关1小于或等于i小于或等于D-1。我们说，只要满足（i）-（iii），theta就是三项递归（或TTR）。我们讨论了TTR特征值和Q多项式属性之间的联系。当特征值是TTR时，我们根据最多两个自由参数找到Gamma的相交数和特征值的公式，如果beta = +/- 2，则对Gamma进行分类。在按其自然顺序排列的Gamma特征值中，我们认为这可以是TTR。我们显示Gamma最多可以具有三个不同的TTR特征值。我们表明，当且仅当在Curtin和Nomura的意义上Gamma是2均匀的时，Gamma才具有三个不同的TTR特征值。我们证明，当且仅当伽玛是直径为5的对映体，但不是2均质的，伽玛才具有两个截然不同的TTR特征值。 （C）2003 Elsevier Inc.保留所有权利。 [参考：12]

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