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首页> 外文期刊>Journal of Functional Analysis >Super poly-harmonic property of solutions for Navier boundary problems on a half space
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Super poly-harmonic property of solutions for Navier boundary problems on a half space

机译：半空间Navier边界问题解的超多调和性质

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In this paper, we consider the following poly-harmonic semi-linear equation with Navier boundary conditions on a half space R+n:(1){(-δ)mu=up,p>1,m≥1,u>0,inR+n,u=δu=?=δm-1u=0,on?R+n. We first prove that the positive solutions of (1) are super poly-harmonic, i.e.(2)(-δ)iu>0,i=0,1,.,m-1. Then, based on (2), we establish the equivalence between PDE (1) and the integral equation(3)u(x)=cnOU{ligature}R+n(1|x-y|n-2m-1|--y|n-2m)up(y)dy, where 1<∞ and -=(x1,.,-xn) is the reflection of x about the boundary. Combining our equivalence result with previous Liouville type theorems on integral equation (3), we derive the non-existence of positive solutions for problem (1). This in turn enables us to obtain a-priori estimates for the solutions of a family of higher order equations with Navier boundary data on either bounded domains in Rn or on Riemannian manifolds with boundaries. A similar super poly-harmonic results like (6) in the whole space Rn has been obtained by Wei and Xu (1999) [48], however, the method used there can no longer be applied to our situation, hence we introduce some new ideas.
机译：本文考虑在半空间R + n上具有Navier边界条件的以下多谐半线性方程：（1）{（-δ）mu = up，p> 1，m≥1，u> 0 ，inR + n，u =δu=？=δm-1u= 0，on？R + n。我们首先证明（1）的正解是超多调和的，即（2）（-δ）iu> 0，i = 0,1，。，m-1。然后，基于（2），建立PDE（1）与积分方程（3）u（x）= cnOU {连字} R + n（1 | xy | n-2m-1 | --y）之间的等价关系| n-2m）up（y）dy，其中1 <∞且-=（x1，。，-xn）是x关于边界的反射。将我们的等价结果与积分方程（3）上的先前Liouville型定理结合，可以得出问题（1）的正解的不存在。反过来，这又使我们能够获得一族高阶方程组解的先验估计，这些Navier边界数据位于Rn的有界域或带边界的黎曼流形上。 Wei和Xu（1999）[48]在整个空间Rn中获得了类似（6）的超多调和结果，但是，那里使用的方法不再适用于我们的情况，因此我们引入了一些新的方法。想法。

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