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The recurrence coefficients of semi-classical Laguerre polynomials and the fourth Painlevé equation

机译：半经典Laguerre多项式的递归系数和第四Painlevé方程

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We show that the coefficients of the three-term recurrence relation for orthogonal polynomials with respect to a semi-classical extension of the Laguerre weight satisfy the fourth Painlevé equation when viewed as functions of one of the parameters in the weight. We compare different approaches to derive this result, namely, the ladder operators approach, the isomonodromy deformations approach and combining the Toda system for the recurrence coefficients with a discrete equation. We also discuss a relation between the recurrence coefficients for the Freud weight and the semi-classical Laguerre weight and show how it arises from the B?cklund transformation of the fourth Painlevé equation.
机译：我们显示，当被视为权重中参数之一的函数时，正交多项式相对于Laguerre权重的半经典扩展的三项递归关系的系数满足第四Painlevé方程。我们比较了得出此结果的不同方法，即梯形算子方法，等单变形方法和将Toda系统的递归系数与离散方程相结合的方法。我们还讨论了弗洛伊德权重和半经典Laguerre权重的递归系数之间的关系，并说明了它是如何从第四Painlevé方程的B？cklund变换中产生的。

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