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Path Integral Quantization of Volume

机译：路径积分量化体积

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A hyperlink is a finite set of non-intersecting simple closed curves in RxR(3). Let R be a compact set inside R(3)The dynamical variables in General Relativity are the vierbein e and a su(2)xsu(2)-valued connection omega Together with Minkowski metric, e will define a metric g on the manifold. Denote VR(e)as the volume of R, for a given choice of e. The Einstein-Hilbert action S(e,omega) is defined on e and omega. We will quantize the volume of R by integrating VR(e)against a holonomy operator of a hyperlink L, disjoint from R, and the exponential of the Einstein-Hilbert action, over the space of vierbein e and su(2) x su(2)-valued connection omega Using our earlier work done on Chern-Simons path integrals in R(3)we will write this infinite-dimensional path integral as the limit of a sequence of Chern-Simons integrals. Our main result shows that the volume operator can be computed by counting the number of nodes on the projected hyperlink in R-3, which lie inside the interior of R. By assigning an irreducible representation of su(2) x su(2) to each component of L, the volume operator gives the total kinetic energy, which comes from translational and angular momentum.
机译：超链接是RXR（3）中的一组有限的非交叉简单闭合曲线。让R是内部R（3）一般相对性的动态变量是Vierbein E和SU（2）XSU（2） - 与Minkowski指标一起的连接ω，E将定义歧管上的公制g。表示VR（e）作为r的体积，用于给定的e。爱因斯坦-Hilbert动作S（E，Omega）在E和OMEGA上定义。我们将通过将VR（e）与超级链接L的全全运算符集成，从R，r，与爱因斯坦e和su（2）x su（ 2） - 使用我们之前的工作在R（3）中的Chern-Simons路径中完成的eMega使用我们之前的工作，我们将根据Chern-Simons积分序列的限制将此无限维路径积分。我们的主要结果表明，可以通过在R-3中的预计超链接上的节点数量的数量来计算卷运算符，该节点位于R的内部。通过分配SU（2）x SU（2）的不可缩短的表示来L的每个部件，音量操作员提供总动能，这来自平移和角动量。

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