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SMALL GAPS IN THE SPECTRUM OF THE RECTANGULAR BILLIARD

机译：矩形台球的光谱中的小空隙

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We study the size of the minimal gap between the first N eigenvalues of the Laplacian on a rectangular billiard having irrational squared aspect ratio alpha, in comparison to the corresponding quantity for a Poissonian sequence. If alpha is a quadratic irrationality of certain type, such as the square root of a rational number, we show that the minimal gap is roughly of size 1/N, which is essentially consistent with Poisson statistics. We also give related results for a set of alpha's of full measure. However, on a fine scale we show that Poisson statistics is violated for all alpha. The proofs use a variety of ideas of an arithmetical nature, involving Diophantine approximation, the theory of continued fractions, and results in analytic number theory.
机译：我们研究了Laplacian的第一个N特征值在具有非理性平方纵横比α的矩形台球之间的最小间隙之间的大小，与泊松序列的相应数量相比。 如果alpha是某些类型的二次非构作性，例如理性数量的平方根，则表明最小间隙大小为1 / n，这与泊松统计基本一致。 我们还向一组全措施提供相关结果。 但是，在精细规模上，我们表明所有alpha都违反了泊松统计数据。 证据使用了算术性质的各种思想，涉及蒸番素近似，持续分数的理论，并导致分析数字理论。

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