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DISCRETE HAMILTON-JACOBI THEORY

机译：离散哈密尔顿-雅各比理论

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We develop a discrete analogue of Hamilton-Jacobi theory in the framework of discrete Hamiltonian mechanics. The resulting discrete Hamilton-Jacobi equation is discrete only in time. We describe a discrete analogue of Jacobi's solution and also prove a discrete version of the geometric Hamilton-Jacobi theorem. The theory applied to discrete linear Hamiltonian systems yields the discrete Riccati equation as a special case of the discrete Hamilton-Jacobi equation. We also apply the theory to discrete optimal control problems, and recover some well-known results, such as the Bellman equation (discrete-time HJB equation) of dynamic programming and its relation to the costate variable in the Pontryagin maximum principle. This relationship between the discrete Hamilton-Jacobi equation and Bellman equation is exploited to derive a generalized form of the Bellman equation that has controls at internal stages.
机译：我们在离散哈密顿力学的框架内开发了哈密顿-雅各比理论的离散类似物。所得离散汉密尔顿-雅各比方程仅在时间上离散。我们描述了Jacobi解的离散模拟，还证明了几何Hamilton-Jacobi定理的离散形式。应用于离散线性Hamilton系统的理论产生了离散Riccati方程，作为离散Hamilton-Jacobi方程的特例。我们还将该理论应用于离散最优控制问题，并恢复了一些著名的结果，例如动态规划的Bellman方程（离散HJB方程）及其与Pontryagin极大原理中的有代价的变量的关系。利用离散汉密尔顿-雅各比方程和Bellman方程之间的这种关系来导出Bellman方程的广义形式，该形式在内部具有控制权。

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