汽车盘式制动器系统振动稳定性的不确定性分析方法

技术领域

本发明涉及汽车制动噪声领域，尤其涉及一种汽车盘式制动器振动稳定性的不确定性 分析方法。

背景技术

汽车制动噪声已成为城市的主要噪声污染源之一。如果汽车的制动器设计不合理，制 动时就可能引起强烈的振动，使得制动器处于振动不稳定状态，并形成刺耳的噪声。

基于有限元的复特征值分析方法是一种研究汽车盘式制动器振动稳定性的有效方法， 它主要通过求解系统的复特征值，根据复特征值的实部是否为正，判断系统的稳定性，从 而预测制动器的尖叫噪声趋势。

但是基于该方法的很多相关研究都是将制动器系统的参数视为确定性的，没有考虑实 际工程中材料性能参数、边界条件和摩擦损耗等不确定性因素的影响，使得研究结果的工 程指导意义不大。

发明内容

本发明所要解决的技术问题之一是需要提供一种汽车盘式制动器系统振动稳定性的 不确定性分析方法，其考虑了系统参数在实际工程中的不确定性，使得分析结果具有更高 的工程指导意义。

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种汽车盘式制动器系统振动稳定性的不确定 性分析方法，包括：参数确定步骤，定义制动器系统的不确定性参数，对所述不确定性参 数进行不同类型表述，所述类型包括随机参数与区间参数；模型建立步骤，获取关于所有 不确定性参数的初始取值和取值范围，并建立所述制动器系统的有限元简化模型；样本点 获取步骤，根据所有不确定性参数的取值范围，采用试验设计方法采样获取样本点；求解 步骤，将所述样本点代入所述有限元简化模型中求解复特征值，根据具有正实部的复特征 值判断所述制动器系统的不稳定模态；关系建立步骤，建立所述不稳定模态和所述制动器 系统的不确定性参数的关系表达式，得到与所述不稳定模态对应的复特征值实部和虚部的 表达式；分析步骤，基于所述实部和虚部的表达式以及所述制动器系统的不确定性参数建 立所述制动器系统振动稳定性的可靠性分析模型，通过分析所述可靠性分析模型的参数全 局灵敏度，得到各个不确定性参数对所述制动器系统振动稳定性的影响程度，其中，所述 可靠性分析模型为包含所述随机参数和区间参数的不确定性模型；参数确定步骤，根据所 述影响程度初步得到影响所述制动器系统稳定性的不确定性参数，进一步计算所述可靠性 分析模型针对所得到的各个不确定性参数的可靠度，最终得到用于提高制动器系统稳定性 的不确定性参数。

在一个实施例中，在所述样本点获取步骤中，基于各个不确定性参数的取值范围得到 对所有不确定性参数进行标准化后的标准化变量组成的空间，采用拉丁超立方试验设计方 法在标准化变量组成的空间中获取样本点构建二阶响应面近似模型。

在一个实施例中，通过以下表达式将所述研究参数标准化：

其中，所述不确定性参数的最小值到所述不确定性参数的最大值的数值范围为所述不 确定性参数的取值范围。

在一个实施例中，根据如下公式计算所述样本点的组数，

$N=\frac{(n+2)\times (n+1)}{2\times 1}$

其中，N为所述二阶响应面近似模型的基函数个数，n为所述二阶响应面近似模型的 系统变量个数，所述样本点的组数为N的1.5倍。

在一个实施例中，在所述求解步骤中，所述不稳定模态具有大于零的实部值，并且其 阻尼比绝对值大于其他模态，所述阻尼比通过以下表达式计算：

$\zeta =-\frac{\sigma }{\mathrm{\pi \beta }}$

其中，ζ为阻尼比，σ和β分别为对应复特征值的实部和虚部。

在一个实施例中，所述不确定性参数包括支撑背板材料密度、制动片材料密度、制动 盘材料密度、支撑背板材料弹性模量、制动片材料弹性模量、制动盘材料弹性模量、摩擦 系数以及制动压力，其中，所述支撑背板材料密度、制动片材料密度、制动盘材料密度为 符合正态分布的随机参数，所述支撑背板材料弹性模量、制动片材料弹性模量、制动盘材 料弹性模量、摩擦系数以及制动压力为符合区间分布的区间参数。

在一个实施例中，在所述可靠性分析步骤中，通过以下表达式来建立所述可靠性分析 模型：

$R=\mathrm{Pr}\{g\left(Z\right)=\frac{-\sigma \left(Z\right)}{\mathrm{\pi \beta }\left(Z\right)}+0.01>0\}$

其中，σ和β分别为所述不稳定模态的复特征值的实部和虚部，R表示可靠度，Pr表 示概率，g(Z)为功能函数，Z为所述不确定性参数对应的标准化随机变量或区间变量组 成的标准化向量，g(Z)＝ζ(Z)-ζ_c，ζ(Z)为所述不稳定模态对应的阻尼比，ζ_c为临界值。

在一个实施例中，通过以下表达式来计算所述可靠性分析模型针对所得到的各个不确 定性参数的可靠度R：

R∈[R^L,R^U]

$R^L\approx {\hat{R}}^L=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}I[\max g({\hat{X}}_i,Y)>0]$

$R^U\approx {\hat{R}}^U=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}I[\min g({\hat{X}}_i,Y)>0]$

Y∈Y

其中，R^L表示最小可靠度，R^U表示最大可靠度，表示可靠度的蒙特卡洛估计量 的下界，表示可靠度的蒙特卡洛估计量的上界，g()为功能函数，I[]为特征函数，为随机参数的第i次随机抽样，N为抽样次数，Y为当前不确定性参数的区间取值。

在一个实施例中，在可靠性分析步骤中，使用Sobol'法对所述可靠性分析模型进行全 局灵敏度分析，计算所述功能函数对各个不确定性参数对应的标准化变量的一阶全局灵敏 度以及总体全局灵敏度，进而得到各个不确定性参数对所述制动器系统振动稳定性的影响 程度。

在一个实施例中，在所述参数确定步骤中，通过分析所述一阶全局灵敏度以及总体全 局灵敏度初步得到影响所述制动器系统稳定性的不确定性参数。

与现有技术相比，本发明的一个或多个实施例可以具有如下优点：

本发明的方法考虑了系统参数在实际工程中的不确定性，通过建立制动器系统稳定性 的可靠性分析模型，采用Sobol'法对可靠性分析模型进行参数全局灵敏度分析，最终确定 用于提高制动器系统稳定性的研究参数，并提出改善措施，使得分析结果更接近真实情况， 在工程实践中具有较高的指导意义。

本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显 而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在说明书、权利要 求书以及附图中所特别指出的结构来实现和获得。

附图说明

附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例 共同用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。在附图中：

图1是根据本发明一实施例的汽车盘式制动器系统振动稳定性的优化方法的流程图；

图2是根据本发明一示例的汽车盘式制动器的有限元简化模型；

图3是根据本发明一示例的各个标准化变量的一阶全局灵敏度及总体全局灵敏度值 的直方图。

具体实施方式

以下将结合附图及实施例来详细说明本发明的实施方式，借此对本发明如何应用技术 手段来解决技术问题，并达成技术效果的实现过程能充分理解并据以实施。需要说明的是， 只要不构成冲突，本发明中的各个实施例以及各实施例中的各个特征可以相互结合，所形 成的技术方案均在本发明的保护范围之内。

另外，在附图的流程图示出的步骤可以在诸如一组计算机可执行指令的计算机系统中 执行，并且，虽然在流程图中示出了逻辑顺序，但是在某些情况下，可以以不同于此处的 顺序执行所示出或描述的步骤。

图1为本发明一实施例的汽车盘式制动器系统振动稳定性的优化方法的流程图，下面 结合流程图对该方法进行详细说明。

步骤S110，定义制动器系统的不确定性参数，将不确定性参数确定为随机参数与区 间参数两类。

有限元复特征值分析方法是研究汽车盘式制动器振动稳定性的有效方法，有限元复特 征值分析主要与材料密度、弹性模量和载荷约束等条件有关，因此选取部件材料密度、弹 性模量、摩擦系数和制动压力作为不确定性参数。需要注意的是，所定义的不确定性参数 均为不确定性参数类型。另外，由于摩擦损耗引起部件刚度的改变，因此磨损引起的不确 定性可由材料弹性模量的不确定性间接体现。

在本实施例中，系统的不确定性参数包括支撑背板材料密度ρ₁、制动片材料密度ρ₂、 制动盘材料密度ρ₃、支撑背板材料弹性模量E₁、制动片材料弹性模量E₂、制动盘材料弹 性模量E₃、摩擦系数μ和制动压力P。材料密度参数ρ₁、ρ₂、ρ₃为随机参数，采用正态分 布类型进行描述，材料弹性模量E₁、E₂、E₃，摩擦系数μ以及制动压力P为区间参数， 采用区间分布类型进行描述。

步骤S120，获取关于所有不确定性参数的初始取值和取值范围，并建立制动器系统 的有限元简化模型。

首先，根据工程实际确定所有参数的初始取值和不确定性取值范围。

支撑背板材料密度ρ₁服从正态分布，初始值为7.82kg/m³，均值为7.82kg/m³，标准差 为0.1303kg/m³，不确定性取值范围为[7.429kg/m³,8.211kg/m³]；

制动片材料密度ρ₂服从正态分布，初始值为2.51kg/m³，均值为2.51kg/m³，标准差为 0.0418kg/m³，不确定性取值范围为[2.3845kg/m³,2.6355kg/m³]；

制动盘材料密ρ₃服从正态分布，初始值为7.20kg/m³，均值为7.20kg/m³，标准差为 0.12kg/m³，不确定性取值范围为[6.84kg/m³,7.56kg/m³]；

支撑背板材料弹性模量E₁服从区间分布，初始值为207GPa，不确定性取值范围为 [196.65GPa,217.35GPa]；

制动片材料弹性模量E₂服从区间分布，初始值为5.94GPa，不确定性取值范围为 [5.643GPa,6.237GPa]；

制动盘材料弹性模量E₃服从区间分布，初始值为125GPa，不确定性取值范围为 [118.75GPa,131.25GPa]；

摩擦系数μ服从区间分布，初始值为0.3，不确定性取值范围为[0.285,0.315]；

制动压力P服从区间分布，初始值为0.5MPa，不确定性取值范围为 [0.475MPa,0.525MPa]。

图2所示为根据本发明一示例的制动器系统的有限元简化模型。根据上述不确定性参 数，建立某型轿车的盘式制动器简化模型，该简化模型由制动盘、制动片、支撑背板和绝 缘板等部分组成。

步骤S130，根据所有不确定性参数的取值范围，采用试验设计方法采样获取样本点。

为便于进行试验设计、构造响应面近似模型，也为便于后续采用Sobol'法求解全局灵 敏度，按下式对上述不确定性参数进行标准化，将有量纲变量变为无量纲量，以消除变量 自身大小带来的影响。标准化后各无量纲量的变化范围均为[0,1]。

$z_1=\frac{{\rho }_1-7.429}{0.782},z_2=\frac{{\rho }_2-2.3845}{0.251},z_3=\frac{{\rho }_3-6.84}{0.72},z_4=\frac{E_1-196.65}{20.7},$

$z_5=\frac{E_2-5.643}{0.594},z_6=\frac{E_3-118.75}{12.5},z_7=\frac{\mu -0.285}{0.03},z_8=\frac{P-0.475}{0.05}$

式中，z₁为支撑背板材料密度ρ₁对应的标准化变量，z₂为制动片材料密度ρ₂对应的标 准化变量、z₃为制动盘材料密度ρ₃对应的标准化变量、z₄为支撑背板材料弹性模量E₁对 应的标准化变量，z₅为制动片材料弹性模量E₂对应的标准化变量，z₆为制动盘材料弹性 模量E₃对应的标准化变量，z₇为制动压力μ对应的标准化变量，z₈为制动压力P对应的 标准化变量。

基于各个不确定性参数的取值范围得到对所有不确定性参数进行标准化后的标准化 变量组成的空间，采用拉丁超立方试验设计方法，在标准化变量组成的空间中获取样本 点构建二阶响应面模型。对于二阶响应面近似模型有

$N=\frac{(n+2)\times (n+1)}{2\times 1}$

式中，N为响应面表达式基函数个数，n为系统变量个数。抽取样本点的个数M通 常为N的1.5倍。在本实施例中，抽取样本点的组数取为70。

步骤S140，将上述样本点代入有限元简化模型中求解复特征值，根据具有正实部的 复特征值判断制动器系统的不稳定模态。

将试验设计得到的70组样本点，代入到制动器系统有限元模型中进行计算0-16kHz 范围内的复模态，结果显示系统对应各组样本点的第7阶模态均为复数，且实部均大于0， 为不稳定模态。个别样本点还在其它阶数上出现正实部的复模态，但其阻尼比绝对值都远 比第7阶模态的阻尼比绝对值小，因此选取第7阶复模态进行研究。阻尼比的定义如下式 所示：

$\zeta =-\frac{\sigma }{\mathrm{\pi \beta }}$

式中，ζ为不稳定模态的阻尼比，σ和β分别为对应复特征值的实部和虚部。

步骤S150，建立不稳定模态与制动器系统的不确定性参数的关系表达式，得到与该 不稳定模态对应的复特征值实部和虚部的表达式。

运用响应面法求出不稳定模态和系统参数的关系表达式，解决二者的隐式函数关系， 并构造如下第7阶模态的二次多项式响应面近似函数，得到该不稳定模态对应的复特征值 实部和虚部的表达式。

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_7=68.19+5.69z_1+6.66z_2-25.31z_3-1.81z_4-1.24z_5+9.95z_6+15.6z_7-1.95z_8+0.42z_1{z}_2-\\ 1.76z_1{z}_3+0.34z_1{z}_4-2.10z_1{z}_5-3.25z_1{z}_6+1.51z_1{z}_7+1.39z_1{z}_8+4.87z_2{z}_3+1.04z_2{z}_4-\\ 2.88z_2{z}_5+2.04z_2{z}_6+2.17z_2{z}_7-3.34z_2{z}_8+3.36z_3{z}_4+4.66z_3{z}_5+2.49z_3{z}_6-3.11z_3{z}_7+\\ 1.31z_3{z}_8+0.62z_4{z}_5+2.48z_4{z}_6-4.19z_4{z}_7-3.37z_4{z}_8+2.87z_5{z}_6+0.77z_5{z}_7-0.91z_5{z}_8-\\ 7.71z_6{z}_7+0.57z_6{z}_8+3.30z_7{z}_8+5.56z_1^2-4.46z_2^2+1.23z_3^2-2.43z_4^2-1.34z_5^2+0.02z_6^2-\\ 2.35z_7^2+1.54z_8^2\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\beta }_7=1965.24-67.5z_1+13.9z_2-137z_3+39.4z_4-1.24z_5+98.9z_6+62.9z_7-20.4z_8+18.3z_1{z}_2\\ -50.9z_1{z}_3-12.1z_1{z}_4-22.9z_1{z}_5-22.3z_1{z}_6+21.2z_1{z}_7+15.3z_1{z}_8+41.7z_2{z}_3+5.23z_2{z}_4-\\ 30.7z_2{z}_5+25.9z_2{z}_6+25.9z_2{z}_7-34.0z_2{z}_8+54.1z_3{z}_4+49.2z_3{z}_5+11.8z_3{z}_6-36.0z_3{z}_7+\\ 14.0z_3{z}_8+6.52z_4{z}_5+16.0z_4{z}_6-46.4z_4{z}_7-36.2z_4{z}_8+31.3z_5{z}_6+6.98z_5{z}_7-8.67z_5{z}_8-\\ 82.4z_6{z}_7+5.16z_6{z}_8+33.3z_7{z}_8+75.0z_1^2-45.0z_2^2+24.0z_3^2-25.2z_4^2-13.1z_5^2+3.83z_6^2-\\ 19.6z_7^2+16.8z_8^2\end{array}\right)$

式中σ₇和β₇分别为第7阶模态对应的复特征值的实部和虚部。对响应面模型进行显 著性分析，可知响应面模型的不可靠概率小于1%，可用于后续分析研究。

步骤S160，基于实部和虚部的表达式以及制动器系统的不确定性参数建立制动器系 统振动稳定性的可靠性分析模型，通过分析可靠性分析模型的参数全局灵敏度，得到各个 不确定性参数对该制动器系统振动稳定性的影响程度，其中，可靠性分析模型为包含随机 参数和区间参数的不确定性模型。

阻尼比ζ是表征制动器系统稳定性的指标。为在一定程度上保证系统的稳定性，ζ应大 于某一临界值ζ_c，取ζ_c＝-0.01，从可靠性角度提出如下功能函数：

g(Z)＝ζ(Z)-ζ_c

式中，Z为随机或者区间变量，g(Z)为功能函数，ζ(Z)为目标特征值对应的模态阻 尼比。系统第7阶模态稳定的可靠性为：

$R=\mathrm{Pr}\{g\left(Z\right)=\frac{-{\alpha }_7\left(Z\right)}{\pi {\beta }_7\left(Z\right)}+0.01>0\}$

式中R表示可靠性，Pr表示概率，Z＝(z₁,z₂,...,z₈)为标准化向量。由于Z为不确定 性参数对应的标准化随机变量或区间变量组成的标准化向量，因此该可靠性分析模型为包 含区间参数和随机参数的混合不确定性模型。

蒙特卡洛法又称随机模拟法或统计试验法，是一种依据统计抽样理论，从已知概率分 布的变量中随机抽样，依据随机抽样结果计算输出的数字特征。通过采用蒙特卡洛法进行 30000次抽样分析，得知在初始值下系统稳定的最小和最大可靠度分别为0%和34.4%。 因此，在初始不确定性参数下系统稳定性极差，需要对系统的稳定性进行改进提高。

在本实施例中，优选地，使用Sobol'法对可靠性分析模型进行全局灵敏度分析，计算 功能函数对各个不确定性参数对应的标准化变量的一阶全局灵敏度以及总体全局灵敏度， 进而得到各个不确定性参数对制动器系统振动稳定性的影响程度。

传统的灵敏度分析是在一个变量产生微小变化的同时保持其它变量不变，观察由变量 变化引起的结果变动。在工程实际中，考虑变量在某一大的范围内变化且计及多个变量相 互影响的全局灵敏度信息具有更高的参考价值。Sobol'法是一种基于方差的全局灵敏度分 析法，与其它全局灵敏度分析法相比，它能够采用蒙特卡洛法快速简便计算出各阶灵敏度 和高阶交叉影响项。对于上述模型，显然功能函数值越大，系统稳定性越高。

为了甄别各不确定性参数对系统稳定性影响的大小，对所有研究性参数均匀抽样 1000000次，采用Sobol'法计算功能函数对各标准化变量的一阶全局灵敏度及总体全局灵 敏度值，结果如表1所示。

表1

图3为根据上表中各个标准化变量的一阶全局灵敏度及总体全局灵敏度值的直方图。

结合表1与图3可知，z₁，z₃和z₇的一阶全局灵敏度系数很高，改变这些变量对系统 稳定性有较大的影响，尤其是z₃的一阶全局灵敏度系数高达0.4569，该变量单独作用时 对系统稳定性有重要影响，在工程实际中应特别对其不确定性严格控制，使其波动范围尽 可能小。而z₅和z₈的一阶全局灵敏度系数几乎接近0，对系统稳定性影响极小，工程实 际中可以对其不确定性控制适当放宽，以降低成本，在分析研究中则可忽略与其对应的参 数不确定性，当作确定参数进行处理，以减小分析工作量。z₃，z₆和z₇的一阶全局灵敏度 与总体全局灵敏度的差值分别达到了0.0063，0.0097和0.0076，表明它们与其它变量之间 存在明显的交互作用。

步骤S170，根据步骤S160得到的影响程度初步得到影响该制动器系统稳定性的不确 定性参数，进一步计算可靠性分析模型针对所得到的各个不确定性参数的可靠度，最终得 到用于提高制动器系统稳定性的不确定性参数。

优选地，通过分析一阶全局灵敏度以及总体全局灵敏度初步得到影响制动器系统稳定 性的不确定性参数。

由前述分析可知，z₅和z₈对系统稳定性几乎没有影响，而z₁，z₂和z₃分别对应系统 各部件的材料密度，一般来说材料密度在工程上很少进行修改。因此主要考察z₄，z₆和z₇对系统稳定性可靠度的影响。与z₄，z₆和z₇对应的不确定性参数为支撑背板材料弹性模量 E₁、制动盘弹性模量E₃和系统摩擦系数μ，对上述系统参数选取一系列区间值进行系统 稳定性分析。

在针对某个参数进行分析时，其它参数的不确定性取值及分布类型不变。通过以下表 达式来计算针对不确定性参数可靠性分析模型的可靠度：

R∈[R^L,R^U]

$R^L\approx {\hat{R}}^L=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}I[\max g({\hat{X}}_i,Y)>0]$

$R^U\approx {\hat{R}}^U=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}I[\min g({\hat{X}}_i,Y)>0]$

Y∈Y

其中，R表示混合模型可靠度，R^L表示最小可靠度，R^U表示最大可靠度，表示 可靠度的蒙特卡洛估计量下界，表示可靠度的蒙特卡洛估计量上界，g()表示功能函数， I[]表示特征函数，为随机参数的第i次随机抽样，N为抽样次数，Y为当前不确定性 参数的区间取值。

根据上述公式，支撑背板在不同弹性模量下，制动器系统的稳定性如表2所示，制动 盘在不同弹性模量下，制动器系统的稳定性如表3所示，在不同摩擦系数下，制动器系统 的稳定性如表4所示。

表2

表3

表4

从表2至表4中可以看出，随着支撑背板材料弹性模量E₁的增大，系统稳定性随之 增大；随着制动盘弹性模量E₃增大或摩擦系数μ增大，系统稳定性均减小。

在工程实践中，减小制动盘弹性模量以提高制动器稳定性，从结构强度和刚度角度考 虑是不可取的；而摩擦系数在实际工程中是个难以掌握和控制的变量，减小摩擦系数还会 严重影响制动效率，因而通过减小摩擦系数来提高制动器稳定性也不是直接有效的方法。

由表2可以看出，在不确定性因素的影响下，支撑背板材料弹性模量E₁由初始值 207GPa，增大到280GPa左右，系统稳定的可靠度可由0增大到99.98%。由于支撑背板 既不是摩擦部件也易于更换，优选地，可通过提高其刚度来提高制动器稳定性。工程上可 采用弹性模量更大的材料或者加大支撑背板的几何厚度等措施来提高支撑刚度，并在不改 变系统摩擦系数和制动压力的情况下能使制动器制动功能得到保证。

综上所述，本发明的方法考虑了系统参数在实际工程中的不确定性，通过建立制动器 系统稳定性的可靠性分析模型，采用Sobol'法对可靠性分析模型进行灵敏度分析，判断不 同系统参数对系统稳定性的影响，最终确定用于提高制动器系统稳定性的不确定性参数， 并提出了改善措施，在工程实践中具有较高的指导意义。

以上所述，仅为本发明的具体实施案例，本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉 本技术的技术人员在本发明所述的技术规范内，对本发明的修改或替换，都应在本发明的 保护范围之内。

本领域的技术人员应该明白，上述的本发明的各模块或各步骤可以用通用的计算装置 来实现，它们可以集中在单个的计算装置上，或者分布在多个计算装置所组成的网络上， 可选地，它们可以用计算装置可执行的程序代码来实现，从而，可以将它们存储在存储装 置中由计算装置来执行，或者将它们分别制作成各个集成电路模块，或者将它们中的多个 模块或步骤制作成单个集成电路模块来实现。这样，本发明不限制于任何特定的硬件和软 件结合。