规避并联机构运动奇异的免奇异输入参数取值空间方法

技术领域

本发明涉及一种规避并联机构运动奇异的方法，特别是一种规避并联机构运动奇异的免 奇异输入参数取值空间方法。

背景技术

运动奇异是并联机构的固有特性。与串联机构运动奇异多发生在边界不同，并联机构的 运动奇异主要发生在工作空间内部，突出特征为：锁定驱动器长度，动平台依然可以获得一 个或几个自由度，动平台失控，其载荷能力急剧下降。并联机构的运动奇异严重制约了其在 重大工程，如航空航天等领域的应用。因此，消除运动奇异对并联机构的影响，对于改善并 联机构性能，拓展其应用领域，具有重要的价值。

为了克服运动奇异对并联机构性能和工作空间带来的消极影响，人们提出了规避并联机 构运动奇异的冗余构件方法、路径规划方法、传感测度方法和扰动函数方法等。Mohamed和 Gosselin在2005年IEEE Transactions on Robotics，21(3)：277-287文中，提出了一种规避并 联机构运动奇异的冗余构件方法。通过添加运动冗余构件或驱动器冗余构件，改变原并联机 构的局部奇异位置分布形态，实现局部工作空间的奇异运动规避。但由于冗余构件的引入， 使并联机构运动学问题的求解变得异常困难，而利用驱动器冗余构件规避并联机构运动奇异， 当运动副存在间隙和驱动器存在执行误差时，导致并联机构出现极大的内应力。特别是，一 个冗余驱动只能解决某一奇异构型附近的运动奇异规避问题，而不能解决整体工作空间内所 有奇异构型处的运动奇异规避问题。Dasgupta和Mruthyunjaya基于机器人路径规划原理，在 1998年Mechanism and Machine Theory,33(6):711-725文中，给出了一种在工作空间内构造一 条免奇异路径的方法。但当工作空间不存在连通的免奇异空间时，所提出的路径规划方法不 能构造出一条免奇异路径，方法失效。

为在控制阶段防止并联机构陷入运动奇异状态，Ranganath等在2004年Mechanism and  Machine Theory，39(9)：971-998文中，给出了一种传感测度方法。通过在并联机构连杆上加 装力/力矩传感器，预测并联机构当前位置与奇异位置的接近程度，防止并联机构陷入奇异运 动状态。由于传感信息与奇异位置的关系非常复杂，当传感信息设定值较大时，在并联机构 铰链间隙的影响下，很容易导致并联机构陷入运动奇异状态；而当传感信息设定值较小时， 又很容易造成误判，导致工作空间的非连续。Wang等在2008年ASME Journal of Mechanical  Design,130(5):052305-1-8文中提出的扰动函数方法，虽可解决并联机构在奇异位置处的运 动奇异规避问题，但由于扰动函数构造异常复杂，且仅针对一个奇异位置，造成该方法的通 用性较差，很难在控制阶段具体应用。

尽管人们，如St-Onge、Bandyopadhyay、Huang等给出了以位姿参数描述的并联机构奇 异位置空间分布模型。但由于该类空间分布模型不能降维，须假定某些位姿参数取值，才能 得到直观的空间分布模型，如三维空间分布模型。类似地，Jiang和Gosselin在2008年ASME  Journal of Mechanical Design,130(11):112304-1-8文中，绘出了给定三个方向位姿参数由三个 位置位姿参数描述的免奇异空间。对于该类由位姿参数描述的奇异位置空间分布模型，或免 奇异空间，当假定条件发生变化时，分布模型也随之发生变化，尤其是，因动平台位姿监控 和测量存在巨大的困难，以及该类分布模型或免奇异空间与并联机构输入参数无关等原因， 使得该类分布模型不能直接用于在设计阶段和控制阶段消除或防止并联机构的运动奇异。

Liu等在2006年Mechanism and Machine Theory，41(5)：145-169文中，通过假定平面 5R机构尺度之间的特殊关系，给出了不同机构尺度区间奇异轨迹特征图谱。因其仅为机构奇 异轨迹特征的近似描述，以及奇异轨迹特征图谱内部存在非连通区域等，所给出的奇异轨迹 特征图谱不能解决并联机构运动奇异的消除问题，特别是，对于较为复杂的并联机构，获得 该类奇异轨迹特征图谱是异常复杂和不现实的。基于Mathematica数学工具中的3D曲面绘图 命令，Wang和Li在2011年Proc.IMechE Part C:J.Mechanical Engineering Science，225（1）： 204-215文中，绘出了以输入参数为坐标轴的奇异位置空间分布曲面。由于奇异方程是关于输 入参数的高维方程，对于同一组输入参数，有若干组奇异位置解，因此，奇异位置的空间分 布应为空间多曲面分布方式，即不仅一个空间分布曲面，而是多个空间分布曲面。由于 Mathematica中的3D曲面绘图命令仅能绘出其中一个空间分布曲面，且不能保证所绘出的奇 异位置空间分布曲面内部不再存在其他奇异位置分布曲面，因此，该文所给出的以输入参数 为坐标轴的奇异位置空间分布曲面，不能用于设计阶段和控制阶段消除或防止并联机构的运 动奇异。

发明内容

本发明的目的在于针对现有规避并联机构运动奇异方法存在的不足，提供一种简单通用 的、能够在设计阶段和控制阶段有效规避并联机构在整体工作空间运动奇异的方法。

本发明的目的是这样实现的：构建以输入参数为坐标轴全部的并联机构奇异位置空间分 布曲面；作这些空间分布曲面的内接包络曲面，得到免奇异输入参数取值空间分布曲面；在 免奇异输入参数取值空间分布曲面内，选择恰当的工作点，并根据并联机构的工作要求，确 定满足工作要求的各输入参数的取值范围；校验符合并联机构工作要求的各输入参数的取值 范围，是否全部位于免奇异输入参数取值空间分布曲面之内，如果是，则在设计阶段消除并 联机构的运动奇异；当存在满足工作要求的输入参数取值范围超出免奇异输入参数取值空间 分布曲面时，适当调整工作点，使其位于免奇异输入参数取值空间分布曲面之内。将满足工 作要求的各输入参数取值范围作为免奇异输入参数取值空间，在控制阶段，通过检测各输入 参数是否位于各自的免奇异取值空间，防止并联机构陷入奇异运动状态。

具体实施过程为：

⑴首先，建立包含全部输入参数的并联机构构型方程，根据奇异条件，得到由输入参数 表达的奇异方程，其次，采用拓展方程方法（或同伦方法）等数值方法，从构建的由输入参 数表达的奇异方程中，求出所有以输入参数表达的奇异位置，然后，连续改变输入参数的取 值，得到一系列不同输入参数下所有对应的奇异位置，最后，在以输入参数为坐标轴的空间 内，依次分别连接这些以输入参数表达的奇异位置点，得到以输入参数为坐标轴全部的并联 机构奇异位置空间分布曲面。

⑵作这些并联机构奇异位置空间分布曲面的内接包络曲面，得到免奇异输入参数取值空 间分布曲面。

⑶在免奇异输入参数取值空间分布曲面内，选择恰当的工作点，并以该工作点为基础， 根据并联机构的工作需求，确定符合并联机构工作要求的各输入参数的取值范围。

⑷校验符合并联机构工作要求的各输入参数的取值范围，是否全部位于免奇异输入参数 取值空间分布曲面之内，如果是，则在设计阶段消除并联机构的运动奇异。

⑸当存在符合工作要求的输入参数取值范围超出免奇异输入参数取值空间分布曲面时， 合理调整工作点，最终使各输入参数的取值范围全部落入免奇异输入参数取值空间分布曲面 之内。

⑹将免奇异输入参数取值空间分布曲面内符合工作要求的输入参数取值范围，作为输入 参数免奇异取值空间，用于控制过程中监控和防止并联机构陷入运动奇异状态。

所述的奇异条件可以为雅可比矩阵或Screw螺旋矩阵降秩条件，几何线丛条件等；所述 的以输入参数为坐标轴的并联机构奇异位置空间分布曲面，最多维数为六维，但一般可根据 结构及运动的对称性，可得到降维的空间分布模型，如三维空间模型，为设计阶段消除运动 奇异，提供直观、形象的分布模型。

有益效果：由于采用上述方案，通过将满足工作需求的各输入参数的取值范围布置在免 奇异输入参数取值空间分布曲面之内，能够在设计阶段消除并联机构的运动奇异，确保并联 机构在整体工作空间具有确定的运动输出和较高的载荷能力。特别是，在控制阶段，通过检 测输入参数是否位于免奇异输入参数取值空间之内，可以迅速地判定和防止并联机构陷入运 动奇异状态。由于免奇异输入参数取值空间分布曲面是一个内部连通的空间，相对冗余驱动 构件方法和路径规划方法，本发明所提出的方法，能够解决整体工作空间的并联机构运动奇 异规避问题。与以并联机构位姿参数描述的奇异位置空间分布模型相比，所给出的免奇异输 入参数取值空间分布曲面，可以直接用于在设计阶段消除并联机构的运动奇异，在控制阶段 防止并联机构陷入运动奇异状态。因此，基于免奇异输入参数取值空间分布曲面的免奇异输 入参数取值空间方法，达到了本发明的目的，即：在设计阶段消除运动奇异对并联机构的消 极影响，在控制阶段防止并联机构陷入运动奇异状态。

优点是：方法简单、通用、易于实现，能够直接应用于在设计阶段消除并联机构整体工 作空间的运动奇异，在控制阶段防止并联机构陷入运动奇异状态。

附图说明

图1是构造规避并联机构运动奇异的免奇异输入参数取值空间方法的流程图。

图2是实施本发明的一个示例3SPS-3PRS并联机构（2a）及其工作要求（2b）。

图3是以输入参数为坐标轴的并联机构奇异位置空间分布曲面，及其免奇异输入参数取 值空间分布曲面。

图4是并联机构工作点的设定，及满足工作要求的免奇异输入参数取值空间的确定。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例作详细说明。

本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作 过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

在本发明实施中，如图1所示，建立包含构型参数和全部输入参数的并联机构构型方程， 并根据奇异条件，得到由输入参数表达的奇异方程，采用拓展方程方法或同伦方法等数值方 法，得到以输入参数为坐标轴全部的奇异位置空间分布曲面；然后，构造这些空间分布曲面 的内接包络曲面，得到免奇异输入参数取值空间分布曲面；根据并联机构的工作要求，在免 奇异输入参数取值空间分布曲面内，合理确定并联机构的工作点，给出相应的满足工作要求 的并联机构各输入参数的取值范围；当各输入参数的取值范围在免奇异输入参数取值空间分 布曲面之内时，所确定的工作点和满足工作要求的免奇异输入参数取值空间，能够在设计阶 段消除运动奇异对并联机构的消极影响。输出这些满足工作要求的免奇异输入参数取值空间， 用于控制过程中对并联机构是否接近奇异位置的监控。当有输入参数取值范围超出免奇异输 入参数取值空间分布曲面时，合理调整工作点，使超出分布曲面的输入参数取值空间向有利 于不超出的方向调整，最终，使满足工作要求的各免奇异输入参数取值空间全部落入免奇异 输入参数取值空间分布曲面之内。

实施例

下面以图2a所示的3SPS-3PRS并联机构为例，详细阐述本发明的具体实施过程。

该3SPS-3PRS并联机构的工作要求如图2b所示。当动平台中心在P点时，动平台能够 实现其法线相对固定平台轴线（z轴）的万向偏转（绕x轴和y轴的合成偏转）θ₂；在Q点 时，动平台的万向转角为θ₁；在两点间的其他位置，动平台万向偏转角介于θ₁～θ₂之间。

步骤一：构建以输入参数为坐标轴全部的并联机构奇异位置空间分布曲面。

建立该并联机构的构型方程F(x,μ)＝0。构型参数x可以是并联机构的位姿参数，也可 以是动平台铰链坐标，或两者部分组合。本例中，x＝[x₀,y₀,z₀,x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂]^T为动平台中心 坐标和两个相邻球铰接点的坐标。μ为并联机构的全部输入参数，本例中，μ＝[l₂,l₄,l₆]^T。根 据奇异位置条件：

$\left(\begin{array}{c}F(x,\mu )=0\\ \left|F_{\mu }(x,\mu )\right|=0\end{array}\right)---\left(1\right)$

给定式（1）中两个输入参数的值，如l₄,l₆，利用同伦方法，可以从式（1）中求得固定 平台上空间待求输入参数l₂在奇异位置处的四个对应值连续改变这两个 输入参数的取值利用同样的方法，得到待求输入参数奇异位置处四个奇异位置的一 系列取值在以输入参数为坐标轴的空间内，依次分别连接这些以输入参 数表达的奇异位置点得到以输入 参数为坐标轴全部的并联机构奇异位置空间分布曲面，共计四个曲面。

受式（1）在奇异位置处雅克比矩阵降秩的影响，同伦法在奇异位置附近的求解效率非 常低。为提高奇异位置的求解效率，构造（1）式的拓展方程：

$\Gamma \left(\Omega \right):=\left(\begin{array}{c}{f}_i=f_i(x,\mu )=0\\ f_{\mathrm{jx}}=\left[\frac{{\partial f}_j}{\partial x}\right]v=0\\ \underset{k=1}{\overset{9}{\Sigma }}{v}_k^2-1=0\end{array}\right)---\left(2\right)$

一般化，对于具有n个输入参数的并联机构，给定输入参数l_i,i＝1,...,n,i≠j的一组值，利 用数值方法，可以迅速地从（2）式中求得奇异位置处待求输入参数l_j的所有m个对应解值 连续改变输入参数的取值，得到一系列奇异位置处输入参数的 所有m个对应解值以输入参数为坐标轴，依次分别连接这些以输入参数表达的m 个奇异位置点$(l_{{\mathrm{jM}}_1}^k,l_i^k,i=1,...,n,i\ne j),···,(l_{{\mathrm{jM}}_m}^k,l_i^k,i=1,...,n,i\ne j),$得到以输入参数为坐标 轴全部的奇异位置空间分布曲面，共计m个分布曲面。

为了简洁地说明本发明的实施过程，令l₄=l₆（此条件与动平台最大偏转角度对应），此 时，奇异位置方程的维数为两维，即l₂，l_4，6，相应的奇异位置空间分布曲面转变为分布曲线。 基于式（2），采用基于拓展方程的同伦方法，得到固定平台上空间以输入参数为坐标轴的奇 异位置分布曲线，M₁，M₂，M₃，M₄，共计四条，如图3所示。

步骤二：得到免奇异输入参数取值空间分布曲线。

作图3中四条奇异位置分布曲线M₁，M₂，M₃，M₄的内接包络曲线，得到并联机构免奇 异输入参数取值空间分布曲线，如图3斜线区域所示。当符合工作要求的并联机构输入参数 取值范围位于该斜线区域之内，并联机构不发生运动奇异。因构型方程关于输入参数是连续 可微函数，在免奇异输入参数取值空间分布曲线之内，不存在孤立点和不连通域。

步骤三：在免奇异输入参数取值空间分布曲线之内，选取恰当的工作点，并确定符合并 联机构工作要求的输入参数取值范围。

以3SPS-3PRS并联机构动平台中心点P作为参考点，在图3所示的免奇异输入参数取值 空间分布曲线之内，即斜线区域，选取恰当的位置作为P点的工作点，如图4所示。

根据图2b所示的工作要求，在该工作点P，输入参数l₄=l₆的最小值为这里R₁为动平台铰链点分布半径，对应的输入参数l₂的最大取值范围为： （l_2minP，l_2maxP）＝[z₁₀-R₁sin(θ₂)，z₁₀+R₁sin(θ₂)]。在工作位置Q，符合工作要求的输入参数l₂的 取值范围为（l_2minQ，l_2maxQ）＝[z₁₀+a₀-R₁sin(θ₁)，z₁₀+a₀+R₁sin(θ₁)]。

步骤四：校验符合并联机构工作要求的各输入参数的取值范围，是否全部位于免奇异输 入参数取值空间分布曲面之内，如果是，则在设计阶段消除并联机构的运动奇异。

在工作点P，l₄=l₆=l_4,6minP的垂线与免奇异输入参数取值空间分布曲线（斜线部分）的边 界分别交于P₁点和P₂点，对应l₂的最大免奇异取值空间为同理，当输入参数l₄=l₆为最大值时，对应l₂的最大免奇异取值空间为显然， 由于$(l_{2\min P},l_{2\max P})\in (l_{2P_1},l_{2P_2})$和$(l_{2\min P},l_{2\max P})\in (l_{2P_1^{\prime }},l_{2P_2^{\prime }}),$满足工作需求的各输入参数的取值 范围全部位于免奇异输入参数取值空间分布曲线之内，3SPS-3PRS并联机构在工作点P不会发 生运动奇异。

步骤五：调整工作点，使满足工作需求的各输入参数的取值范围全部位于免奇异输入参 数取值空间分布曲面之内。

当出现符合工作要求的输入参数取值空间超出免奇异输入参数取值空间分布曲面的情 况时，需要对工作点进行调整。例如，图2所示的工作位置Q，当输入参数l₄=l₆取最大值 时，免奇异输入参数取值空间分布曲线确定的l₂最大免奇异取 值空间为而符合工作要求的输入参数l₂的取值范围（l_2minQ，l_2maxQ），在l_2minQ处，已 超出l₂的最大免奇异取值空间的下边界。在此工作位置，当输入参数l₂接近最小 值l_2minQ时，并联机构将发生运动奇异现象。为此，需要将工作点P适当向右上方移动，直到 由此，通过将符合工作要求的各输入参数取值范围布置在并联机 构免奇异输入参数取值空间分布曲面之内，在设计阶段消除并联机构的运动奇异。

步骤六：将免奇异输入参数取值空间分布曲面内符合工作要求的输入参数取值范围， 作为输入参数免奇异取值空间，在控制阶段，通过检测各输入参数的当前值是否在各输入参 数的免奇异取值空间之内，防止并联机构陷入运动奇异状态。

如上所述，结合3SPS-3PRS并联机构，给出了实施本发明的详细过程。本发明对平台类 并联机构运动奇异问题的消除是有效的，且方法简单、通用，易于实现，能够直接应用于在 设计阶段消除并联机构整体工作空间的运动奇异，并在控制阶段，通过直接检测输入参数的 当前值，防止并联机构陷入奇异运动状态。