基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法

技术领域

本发明是一种基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法，属于加速寿命试验技术领域， 用于解决可靠性与系统工程领域的技术问题。

背景技术

在当今国内外可靠性工程中，航空航天类电子产品、光电产品等长寿命高可靠性产品的 寿命与可靠性评估已成为一项研究难题，加速寿命试验(Accelerated Life Testing，ALT)是 在失效机理不变的基础上，通过寻找产品寿命与应力之间的物理化学关系——加速模型，利 用高(加速)应力水平下的寿命特征去外推评估正常应力水平下的寿命特征的试验技术，是目前 解决这一难题的关键技术。

加速寿命试验中，按截尾方式分类可以分为定时截尾试验、定数截尾试验和序贯截尾试 验。定时截尾试验是指对n个样品进行试验，事先规定试验截尾时间t₀，到时刻t₀所有试验 样品停止试验，利用试验数据评估产品的可靠性特征量；定数截尾试验是指对n个样品进行 试验，事先规定试验截尾的故障数r，试验进行到出现r个故障为止，利用试验数据评估产品 的可靠性特征量；序贯截尾试验是按事先拟定的接受、拒收及截尾时间线，在试验期间，对 受试产品进行连续地观测，并将累积的相关试验时间和故障数与规定的接收、拒收或继续试 验的判据做比较的一种试验。从应力施加的方式又可分为恒定应力试验、步进应力试验和序 进应力试验。加速寿命试验的统计分析就是围绕这几种试验方法展开的。

加速寿命试验通过对截尾数据统计分析，预测产品寿命，评估产品可靠性。但面临的主 要问题是，记录的截尾数据具有很大的主观性。加速寿命试验中采用定时检测的方式检查产 品的失效数，不同应力水平下，检测间隔不同。进行检测时，如果发现已有产品失效，则人 为估计产品失效时间并记录。这导致记录的产品失效时间可能偏大或偏小。利用这样的截尾 数据预测寿命和可靠性，得到的结果缺乏足够的可信度。

经典统计分析方法和Bayes统计分析方法展开。经典统计分析方法，通常有极大似然估 计法(MLE)、最小二乘法(LSE)和基于次序统计量的各类线性估计方法等；Bayes统计推断的 特点之一是利用当前试验数据的同时，充分利用其他信息，如专家经验、前期经验积累等， 即所谓的验前信息对参数进行修正，从而使预测结果更准确。

模糊理论的研究主要有：

Viertl主要考虑了寿命数据是模糊的条件下，基于贝叶斯理论的系统可靠性评估(参考 文献[]：Viertl R.On reliability estimation based on fuzzy lifetime data[J].Journal of  Statistical Planning and Inference,2009,139(5):1750-1755.)。黄洪钟做根据模糊退 化数据分析了竞争失效系统的可靠性，提出了系统竞争失效的模糊退化可靠性模型(参考文 献[]：Huang H Z,Zuo M J,Sun Z Q.Bayesian reliability analysis for fuzzy lifetime  data[J].Fuzzy Sets and Systems,2006,157(12):1674-1686.)。Jamkhaneh较详细 的给出了模糊参数的寿命分布模型：二项分布、指数分布和威布尔分布，并评估了系统的可 靠性(参考文献[]：Jamkhaneh E B.Analyzing System Reliability Using Fuzzy Weibull  Lifetime Distribution[J].International Journal of Applied,2014,4(1):93-102)。Lin 给出了某可修复系统特征的隶属函数，并用模糊指数分布描述系统失效和维修时间(参考文 献[]：[10]Lin C H,Ke J C,Huang H I.Reliability-based measures for a system with  an uncertain parameter environment[J].International Journal of Systems Science, 2012,43(6):1146-1156.)。

但是，到目前为止还没有加速寿命试验中的模糊理论研究。

发明内容

本发明的目的是为了解决目前加速寿命试验中失效数据据有主观性和模糊性，提出了一 种基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法，该方法基于恒定应力加速寿命试验，产品寿 命服从指数分布，用模糊理论描述试验数据，结合极大似然估计法对截尾数据建模，给出产 品寿命和可靠度的模糊区间估计值。

本发明的一种基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法，具体步骤为：

步骤一、利用模糊理论，将恒加截尾数据合理模糊化，得到模糊失效数据；

步骤二、结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；

步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测；

本发明的优点在于：

(1)本发明首次分析了加速寿命试验中截尾数据的主观性，首次将模糊理论引入到加速 寿命试验的统计分析中，建立了基于模糊理论的极大似然估计模型；

(2)本发明根据建立的模型给出模型参数的模糊评估值，并进一步给出产品的模糊寿命 预测区间以及模糊可靠度区间，相比于传统的统计分析方法给出的点估计值，本发明的结果 更合理，更具有参考价值。

附图说明

图1是本发明步骤三的基于粒子群算法的ALT寻优流程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种基于模糊理论的加速寿命试验统计分析方法，包括以下几个步骤：

步骤一、利用模糊理论，将恒定应力加速寿命试验定数截尾数据合理模糊化，得到模糊 失效数据。

(1)确定产品的寿命分布和加速模型。

设产品的寿命分布服从指数分布。常用的加速模型有阿伦尼斯(Arrhenius)模型、逆幂率 模型、艾琳(Eyring)模型等，其形式都可表示对数线性形式：其中，是应 力s的某一已知函数，例如，对阿伦尼斯(Arrhenius)模型而言，s＝T，T为绝对温 度；对逆幂率模型而言，s可表示电压、电流、功率等；d(s)为性能退化率；a、b 为常数。根据产品自身特点、敏感应力和性能参数退化情况等，确定产品的加速模型。

(2)利用模糊理论处理试验数据

产品在加速寿命试验中的失效时间的记录具有很大的主观性，因为采用定时检测的方法，检 测时发现产品失效的时间不一定是产品的实际失效时间，可能偏大也可能偏小，最大误差可以达 到最大检测时间间隔。所以加速寿命试验数据具有认知不确定性，具有模糊性。常用的隶属函数 可分为偏小型、偏大型和中间型三类。所以本发明采用属于中间型的对称三角形隶属函数描 述数据。具体定义形式为：

${\tilde{t}}_{\mathrm{ij}}=(m_{t_{\mathrm{ij}}},g_{t_{\mathrm{ij}}})(i=\mathrm{1,2},...k;j=\mathrm{1,2},...r_i)$

其中：k为应力水平数，r为每个应力水平下的失效数，与本发明中试验设定一致；为 模糊数的中心值，即实际记录时间；为偏离中心值的幅度(也可以成为模糊幅度)，且有 且最大值为该应力水平下的检测间隔。对于不同的应力水平，试验结果的采样间隔 时间是不同的，所以不同应力水平下的应不同。

其隶属函数为：

为检测失效时间相对于实际失效时间的隶属函数；

经过模糊处理，将精确的加速寿命试验失效数据t_ij模糊化为具有对称三角形隶属函数的模 糊失效数据

步骤二、结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；

(1)加速寿命试验基本假设。

设本发明是对服从指数寿命分布的产品进行恒定应力加速寿命试验，恒加试验的统计推 断基于以下两个假设：

假设1：正常应力水平S₀和加速应力水平S₁,S₂,…S_k下，产品寿命分布均服从指数分 布。其分布函数为：

F_i(t)＝1-exp(-t/θ_i)

                                          (1)

t＞0；i＝0,1,...,k

其中，t为时间，本发明中单位为小时；θ_i代表产品在应力水平S_i下的的平均寿命，F_i(t) 为应力水平S_i下产品的失效分布函数。

假设2：产品的平均寿命θ_i与所施加的加速应力水平S_i之间有如下加速模型：

其中是应力S_i的已知函数；a,b为待估参数。

(2)结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；

假设共有n个产品进行恒定应力加速寿命试验，分成k组，每组n_i个样本，在k个应力 水平下试验。在S_i水平下n_i个样本失效r_i个，失效数据为得到 加速应力水平S_i下定数截尾试验总时间为：

$T_i=\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{t}_{\mathrm{ij}}+(n_i-r_i)t_{i{r}_i}---\left(3\right)$

其中：在应力水品S_i下，T_i为试验总时间，t_ij代表记录的失效时间，为剩余未失效产 品的试验时间。

当产品失效时间为对称三角模糊数时，根据模糊数运算法则，每个应力水平下的总模糊试 验时间可以表示为：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{T}}_i=\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{\tilde{t}}_{\mathrm{ij}}=(\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{m}_{t_{\mathrm{ij}}},\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{g}_{t_{\mathrm{ij}}})+((n_i-r_i)m_{t_{i{r}_i}},|(n_i-r_i)\left|g_{t_{i{r}_i}}\right)\\ =(\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{m}_{t_{\mathrm{ij}}}+(n_i-r_i)m_{t_{i{r}_i}},\underset{j=1}{\overset{r_i}{\Sigma }}{g}_{t_{\mathrm{ij}}}+(n_i-r_i)g_{t_{i{r}_i}})\\ i=\mathrm{1,2},...k\end{array}\right)---\left(4\right)$

可以看出的隶属函数同样为三角模糊数，记为

应力水平S_i下，模糊平均寿命的极大似然估计为：

${\tilde{\theta }}_i={\tilde{T}}_i/r_i---\left(5\right)$

可以看出，产品在每个应力水平下的平均寿命也为模糊数，那么，失效率也为模糊数。

应力水平S_i下的似然函数为：

$f={{\tilde{\lambda }}_i}^{r_i}\exp (-{\tilde{\lambda }}_i{\tilde{T}}_i)---\left(6\right)$

其中：f代表失效概率密度函数，λ_i代表产品在应力水平S_i下的失效率。

整个恒定应力加速寿命试验的似然函数和取对数后的结果为：

$L=\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Pi }}{{\tilde{\lambda }}_i}^{r_i}\right)\exp (-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{\lambda }}_i{\tilde{T}}_i)---\left(7\right)$

$\ln L=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\ln {\tilde{\lambda }}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{\lambda }}_i{\tilde{T}}_i=-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\ln {\tilde{\theta }}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}\frac{{\tilde{T}}_i}{{\tilde{\theta }}_i}---\left(8\right)$

将式(2)带入式(8)，得到：

$\ln L(a,b)=-a\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i-b\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\Phi }_i{r}_i-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{T}_i{e}^{-(a+b{\Phi }_i)}---\left(9\right)$

其中分别对a,b求偏导并令偏导等于零，得到两个等式：

$\frac{\ln L(a,b)}{\partial a}=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i{e}^{-(a+b{\Phi }_i)}-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i=0---\left(10\right)$

$\frac{\ln L(a,b)}{\partial b}=\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i{\Phi }_i{e}^{-(a+b{\Phi }_i)}-\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\Phi }_i{r}_i=0---\left(11\right)$

进一步化简得到a,b的关系式(12)，即加速寿命试验统计模型中关键参数的表达式。

通过式(12)可以看出，参数a,b同样是模糊数，但其形式不再是对称三角模糊数。记参 数a,b为

$\left(\begin{array}{c}\tilde{a}=-\ln \left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\right)+\ln \left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i\exp (-\tilde{b}{\Phi }_i)\right]\\ \left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\right)\left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i{\Phi }_i\exp (-\tilde{b}{\Phi }_i)\right]=\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\Phi }_i{r}_i\right)\left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i\exp (-\tilde{b}{\Phi }_i)\right]\end{array}\right)---\left(12\right)$

步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测

(1)基于粒子群算法的ALT参数寻优

粒子群算法，又叫粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)，是近年来 发展起来的一种新的进化算法((Evolutionary Algorithm-EA)。它的基本概念源自于鸟类 觅食行为的研究，核心思想是从随机解出发，通过迭代寻找最优解。在ALT中，粒子群算法 用来确定参数的取值范围，具体算法流程如图1所示，结合图1，对采用粒子群算法求解参 数的取值范围进行详细说明：

参数的形式不再是对称三角模糊数，所以其隶属函数不易给出。当由模糊数学的扩 展定理无法求得模糊隶属函数的时候，参考黄洪钟教授给出的一种隶属函数确定方法，参数 看做是模糊数据的函数，那么，可以得出在给定水平截集α的前提下，参数的最优 值为

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{a}}_{\alpha }^L=\min \{G(\tilde{a},\tilde{b})=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\}\\ {\tilde{b}}_{\alpha }^L=\min \{G(\tilde{a},\tilde{b})=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\}\end{array}\right)---\left(13\right)$

以及

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{a}}_{\alpha }^U=\max \{G(\tilde{a},\tilde{b})=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\}\\ {\tilde{b}}_{\alpha }^U=\max \{G(\tilde{a},\tilde{b})=0:\tilde{T}\in C_{\alpha }\left(\tilde{T}\right)\}\end{array}\right)---\left(14\right)$

其中：式(12)视为方程组；和代表参数的取值上下限； 代表的α-水平截集。可以看出，在区间内取值，会求得不同的的 值。通过粒子群算法，求得在给定水平截集α的前提下，当在区间内取值，参 数的最大和最小值。

本发明采用粒子群算法进行参数寻优。粒子群寻优算法的基本步骤为：

1)确定自变量的值域，即参数的寻优范围。在基于粒子群寻优的加速寿命试验 中，变化的参数为每个应力水平下的总模糊试验时间，即

2)初始化粒子群。本发明采用随机初始化粒子群的方法生成最初的粒子，也就是对 于每个变量在其取值区间内随机确定一初始值。

3)计算每个粒子的适应度。本发明中适应度函数即式(12)，适应度则为参数的值。当变量在其值域内取值时，式(12)化为传统精确数据的方程，通过牛顿迭代 法计算本次参数的解。

4)根据粒子群算法的更新原理，通过历史最优值和当前全局最优值更新粒子的 速度和位置，再次计算适应度。

5)判断是否满足迭代停止条件，即参数已分别取得各自区间上限和下限值， 也就是最大和最小值,是，则输出参数最终寻优结果；否，继续迭代。

通过式(13)、(14)得到的最大值和最小值的隶属度为α，则考虑把隶属函数定义为L-R 型隶属函数，且：

$\left(\begin{array}{c}{\mu }_{\tilde{a}}\left({\tilde{a}}_{\alpha }^L\right)={\mu }_{\tilde{a}}\left({\tilde{a}}_{\alpha }^U\right)=\alpha \\ {\mu }_{\tilde{b}}\left({\tilde{b}}_{\alpha }^L\right)={\mu }_{\tilde{b}}\left({\tilde{b}}_{\alpha }^U\right)=\alpha \end{array}\right)---\left(15\right)$

其中：为参数的隶属函数。

(2)基于粒子群算法的模糊寿命评估

得到的估计值后，带入式(16)，此时应力水平为正常工作条件下的应力水平。同理， 由于的隶属函数已无法给出，模糊平均寿命的估计值及隶属函数同样通过上述方法由粒 子群算法寻优得出。此时变量为参数其值域为式(13)(14)确定的范围。

可靠度和模糊平均寿命的关系容易看出，具有反相关关系，即：

$\tilde{R}=\exp (t/\tilde{\theta })---\left(17\right)$

最后得到可靠度的范围。

实施例：

为评估某型号电机在工作电压10V下的平均寿命，选择四个加速电压水平进行恒加试验， 电压水平、样本量和失效数数据如表1所示。

表1 试验数据

步骤一、利用模糊理论，将恒加截尾数据合理模糊化，得到模糊失效数据

(1)确定产品的寿命分布和加速模型

某产品服从指数寿命分布。服从基本假设(1)和(2)。

模型：以电压为加速应力，加速模型选为艾琳模型：

(2)模糊化寿命数据

本发明将模糊失效时间的中心值设为检测值，模糊幅度设为该应力水平下的检测时间间 隔。所以每个应力水平下模糊幅度分别为S₁＝24，S₂＝12，S₃＝5，S₄＝1，单位为小时。

步骤二、结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；

(1)加速寿命试验基本假设。

设本发明是对服从指数寿命分布的产品进行恒定应力加速寿命试验，恒加试验的统计推 断基于以下两个假设：

假设1：正常应力水平S₀和加速应力水平S₁,S₂,…S_k下，产品寿命分布均服从指数分 布。其分布函数为：

$\left(\begin{array}{c}{F}_i\left(t\right)=1-\exp (-t/{\theta }_i)\\ t>0;i=\mathrm{0,1},...,k\end{array}\right)---\left(19\right)$

其中θ_i代表产品在应力水平S_i下的的平均寿命，F_i(t)为应力水平S_i下产品的失效分 布函数。

假设2：产品的平均寿命θ_i与所施加的加速应力水平S_i之间有如下加速模型：

其中是应力S_i的已知函数；a,b为待估参数。

(2)结合极大似然估计法，建立加速寿命试验模糊统计模型；

通过分析得参数关于每个应力下总模糊试验时间的函数为：

$\left(\begin{array}{c}\tilde{a}=-\ln \left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\right)+\ln \left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i\exp (-\tilde{b}{\Phi }_i)\right]\\ \left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{r}_i\right)\left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i{\Phi }_i\exp (-\tilde{b}{\Phi }_i)\right]=\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\Phi }_i{r}_i\right)\left[\underset{i=1}{\overset{k}{\Sigma }}{\tilde{T}}_i\exp (-\tilde{b}{\Phi }_i)\right]\end{array}\right)---\left(21\right)$

由式(4)计算产品失效数据为：${\tilde{T}}_1=\left(\mathrm{94618,240}\right),{\tilde{T}}_2=\left(\mathrm{50088,120}\right),{\tilde{T}}_3=\left(\mathrm{17808,75}\right),$${\tilde{T}}_4=\left(\mathrm{2707,20}\right),$单位为小时。

步骤三、模型参数评估及寿命和可靠度模糊预测

(1)基于粒子群算法的ALT参数寻优

利用粒子群算法，根据式(12)(13)(14)先计算参数的模糊区间，变量的范围为 ${\tilde{T}}_1\in \left[\mathrm{94378,94858}\right],{\tilde{T}}_2\in \left[\mathrm{49968,50208}\right],{\tilde{T}}_3\in \left[\mathrm{17733,17883}\right],{\tilde{T}}_4\in \left[\mathrm{2727,2687}\right],$随机初始化 粒子群。选取水平截集α＝0.3,经过迭代，求得

再次应用算法，变量范围不变，增加参数的范围随机初始 化粒子群，水平截集α＝0.3，经过迭代，求得

(2)基于粒子群算法的模糊寿命评估

根据式(16)，再次利用粒子群算法，求得模糊平均寿命和可靠度分别为：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{\theta }}_{0.3}\in \left[\mathrm{91024,101190}\right]\\ \exp (-t/91024)\le {\tilde{R}}_{0.3}\left(t\right)\le \exp (-t/101190)\end{array}\right)---\left(22\right)$

当选取水平截集α＝0.6时，评估结果变为：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{a}}_{0.6}\in \left[\mathrm{23.1774,23.2143}\right]\\ {\tilde{b}}_{0.6}\in [-5.0969,-5.0864]\\ {\tilde{\theta }}_{0.6}\in \left[\mathrm{93093,98933}\right]\\ \exp (-t/93093)\le {\tilde{R}}_{0.6}\left(t\right)\le \exp (-t/98933)\end{array}\right)---\left(23\right)$

从结果可以看出，不同的水平截集得到的区间值不同，水平截集α 的值越大，则代表数据不确定性的程度越小，则区间估计值越小，而且本发明得到的寿命预 测区间值包含传统方法得到的估计值，方法是合理有效的。