基于最大熵试验法的小样本产品可靠性验证方法

具体实施方式

公知的可靠性工程使用的是以正态分布为基础的应力、强度模型，若将应力、强度的概念加以扩展，用载荷和承载能力来描述产品的可靠性，则无论是电器产品、机械产品，还是机电产品的可靠性问题，都可以用载荷、承载能力的概念来分析和研究。

如图1所示，本发明主要包括如下步骤：

步骤1：确定产品载荷的均值μ和均方差σ，或产品承载能力的均值μ和均方差σ，并根据试验目的和要求，确定合适的载荷强化系数K；

步骤2：将步骤1中确定的载荷强化系数K、均值μ、均方差σ，和需验证的产品可靠性要求R、置信度要求γ五个参数代入如下试验所需样本量计算公式(1)，求出试验所需样本量N：

$>>N>=>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>>l>n>>\{>1>->\Phi >[>>(>K>->1>)>>>\mu >\sigma >>->K>>\Phi >>->1>>>>(>R>)>>]>\}>>>->->->>(>1>)>>>>$

式(1)中，N为所求试验样本量，γ为产品置信度要求，μ为产品载荷或承载能力的均值，σ为产品载荷或承载能力的均方差，K为载荷强化系数，R为产品可靠性要求，Φ为正态分布分位数符号，ln为以e为底的对数符号；

步骤3：对步骤2得出的数量为N的样本进行成败型试验；

该成败型试验是在一个固定设计工况点下进行的，该工况点是指所述步骤1中确定的载荷强化系数K所对应的载荷点或承载能力点。

步骤4：根据试验结果验证产品可靠性。

如图2所示，步骤4进一步包括：当N数量的样本试验完毕后，判断该N个样本试验是否为全部成功(步骤41)。若N个样本试验全部成功，则认为产品满足设计工况点下的可靠性要求R和置信度要求γ(步骤42)。若N个样本试验没有全部成功，则需要判定样本试验的失败原因(步骤43)。首先判断试验失败是否由产品自身原因造成(步骤44)，如果确是由于产品自身原因造成试验失败，则可以断定产品不符合设计要求，产品可靠性达不到标称要求(步骤45)，否则，试验失败便是由产品自身以外的因素(如试验环境改变)而造成的，则返回步骤1，重做试验(步骤46)。

在信息论中，熵是由信源以确定的概率P发射的信号所传输的信息量的度量。熵H被定义为发射概率P的余对数，即H＝log1/P。本发明所使用的原理为信息熵原理，该原理中所称的熵指的是本发明自定义的变量——试验熵TH，它表示样本所传递的试验信息量。仿照熵H的定义公式，类似地，将试验熵TH定义为可靠度的余对数，即TH＝ln1/R＝-lnR，其中R为可靠度。

如图3所示，比较在B点(用设计载荷P_B)所作的成败型(F＝0)试验与在A点(用强化载荷P_A)所作的成败型(F＝0)试验。

根据成败型(F＝0)试验公式 $>>N>=>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>>l>n>>R>>>,>>>可得：$

         N_A(-l_nR_A)＝N_B(-l_nR_B)＝-l_n(1-γ)           (2)

式(2)中，R为可靠度，γ为置信度，N为全部成功的样本量。

将试验熵TH定义公式TH＝-lnR代入式(2)，可得：

               N_ATH_A＝N_BTH_B＝-l_n(1-γ)(常数)       (3)

由式(3)可知，在确定的置信度γ要求下，通过加大载荷或者减少承载能力，可使单个受试样本的试验熵大大增加(TH_A＞＞TH_B)，从而使强化载荷下所做的成败型(F＝0)试验所需的总样本量大大减少(N_A＜＜N_B)，即最大熵试验法。

根据上述基本思想，公式(1)的推导过程如下：

首先，把P_A和P_B的坐标值化成标准正态分布的形式，并由图3可得：

$>>>>P>A>>>P>B>>>=>K>=>>>>>\Phi >>->1>>>[>1>->>>(>1>->\gamma >)>>>1>N>>>]>>+>>\mu >\sigma >>>>>\Phi >>->1>>>>(>1>->R>)>>+>>\mu >\sigma >>>>->->->>(>4>)>>>>$

式(4)中，定义P_A/P_B为载荷强化系数K。

然后，整理式(4)，便可得到公式(1)：

$>>N>=>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>>l>n>>\{>1>->\Phi >[>>(>K>->1>)>>>\mu >\sigma >>->K>>\Phi >>->1>>>>(>R>)>>]>\}>>>->->->>(>1>)>>>>$

到此，公式(1)的推导完毕。

在公式(1)中，散差σ/μ是一个重要参数，其中：μ为产品载荷或承载能力的均值，σ为产品载荷或承载能力的均方差(即μ、σ分别为产品载荷的均值、均方差，或μ、σ分别为产品承载能力的均值、均方差)。一个产品的载荷或者承载能力的散差，是由许多因素决定的。例如，材料本身散布的力学特性，加工工艺的不一致性，以及产品工作的环境条件的影响等。

在具体实施时，一些批量产品的散差是已知的，即厂商提供的。若产品的散差未知，则可通过一定数量样本的Bruceton步进搜寻法(或其他步进搜寻法)来确定散差估计值并将该散差估计值直接引用为散差σ/μ。

散差估计值由下式得出：

$>ver>>s>^>>=>ver>>\sigma >^>ver>>\mu >^>>>->->->>(>5>)>>>>$

其中： $>ver>>\mu >^>>=>>1>n>>>\Sigma >>j>=>1>>n>>>x>j>>;>>>$

$>ver>>\sigma >^>>=>>>1>>n>->1>>>>\Sigma >>j>=>1>>n>>>>(>>x>j>>-ver>>\mu >^>>)>>2>\; >>>$

式(5)中，为散差估计值，为均值估计值，为均方差估计值，n为试验样本的数量。

在式(5)中，最重要的是要确定试验样本的数量n，以使式(5)得出的散差估计值以尽可能大的概率接近母体散差真值s＝σ/μ。

例如，图4所示为某种产品在不同置信度γ下的样本数与比值的关系，从上到下依次排列的三条曲线分别代表γ＝0.85，γ＝0.90和γ＝0.95时，样本数n与的关系。以γ＝0.90为例，样本数n＝50时， $>ver>>s>^>>/>s>=>0.95>;>>>样本数n＝24时，$ >ver>>s>^>>/>s>>>0.90>.>>>这样，用24～50个样本来做Bruceton试验即可，当n＝50时，$ >>s>=>\sigma >/>\mu >=ver>>s>^>>/>0.95>;>>>当n＝24时，$ >>s>=>\sigma >/>\mu >=ver>>s>^>>/>0.90>,>>>母体散差真值s的最大包罗为即散差s的取值范围为$$$$

在式(1)中，K的取值范围为1≤K＜M，其中M为可靠性设计裕度，在[1，M)的范围内任意取一值做为K值即可，且K值越接近M，试验所需的样本量N越少。可靠性设计裕度M的计算公式为：

                       M＝C_D/P_B              (6)

式(6)中，P_B为产品的设计载荷，C_D为产品的设计承载能力。

在产品的可靠性设计中，当产品的设计载荷P_B确定后，在决定产品的设计承载能力C_D时，总是留有一定的裕量，以补偿由于多种随机的不确定性因素对产品所带来的不利影响。一般来说，在散差σ/μ一定的情况下，产品的可靠性要求R越高，可靠性设计裕度M应当越大，但不能盲目的任意加大可靠性设计裕度M，因为M增大往往是以样本成本的增加为代价的。在这种情况下，尽量减少散差σ/μ就显得格外重要。一般产品的散差σ/μ应控制在5％～15％之间。

K的取值范围[1，M)的确定过程如下：

为了增大样本试验熵，通常可采用如下两种技术途径：

I.在保持承载能力不变的情况下，尽量加大载荷；

II.在保持载荷不变的情况下，尽量减少承载能力。

通过途径I来确定载荷强化系数K比较简单，公式为：

$>>K>=>>>P>A>>>P>B>>>=>1>+>>>>P>A>>->>P>B>>>>P>B>>>->->->>(>7>)>>>>$

式(7)中，P_A为强化载荷(即载荷增大后的值)。从式(7)可得，当P_A＝P_B时，即载荷没有增大时，K取最小值1；当P_A逐渐增大，样本的试验熵也逐渐增大，直到P_A＝C_D时，K取最大值M。但是，为了保障本发明实施的成功概率，即若K等于或大于设计裕度M，样本在试验过程中肯定会大量损坏，所以K只能略小于M。故，对于途径I，载荷强化系数K的取值范围为1≤K＜M。

通过途径II来确定载荷强化系数K较复杂一些。此时，承载能力的减少，相当于承载能力不变，载荷增大。令承载能力的减少量C_D-C_E＝P_A-P_B(承载能力不变时载荷的增加量)，根据公式(7)和可靠性设计裕度M的定义，得：

$>>K>=>1>+>>>>C>D>>->>C>E>>>>P>B>>>=>1>+>>>>C>D>>->>C>E>>>>C>D>>>M>->->->>(>8>)>>>>$

从式(8)得到，在保持设计载荷P_B不变，减少承载能力C_E的情况下，载荷强化系数K不仅与承载能力C_E的减少量有关，还与产品的可靠性设计裕度有很大关系。

当承载能力C_E由大变小时，载荷强化系数K的变化情况为：当C_E最大，即C_E＝C_D时，K＝1；当承载能力C_E由大变小，变到C_E＝P_B时，K＝M。同样，为了保障本发明实施的成功概率，C_E应大于P_B。因此，对于途径II，载荷强化系数K的取值范围仍然为1≤K＜M。

在工程应用中，有时试验人员对受试产品的可靠性设计裕度(或者设计载荷P_B)并不清楚，即M未知。在这种情况下，不能应用公式(8)来得到载荷强化系数K，而可以用每单位承载能力的平均载荷之比来估计载荷强化系数K，公式如下：

$>ver>>K>^>>=>>>>P>B>>/>>C>E>>>>>P>B>>/>>C>D>>>>=>>>C>D>>>C>E>>>\approx >K>->->->>(>9>)>>>>$

用公式(9)求出载荷强化系数估计值是合理的，证明如下：

下面分两种情况来讨论：

(1)承载能力减少幅度很大，以至于使C_E→P_B时，由公式(9)可知， $>ver>>K>^>>\to >>C>D>>/>>C>E>>\to >K>,>>>显然，这时的估计起码是无偏的；$

(2)承载能力减少幅度较小时，这时的估计是有偏的，但仅仅是估计偏小而已。因为

$>>K>-ver>>K>^>>=>1>+>>>>C>D>>->>C>E>>>>P>B>>>->>>C>D>>>C>E>>>=>>>>P>B>>>C>E>>+>>C>D>>>C>E>>->>C>E>>>C>E>>->>P>B>>>C>D>>>>>P>B>>>C>E>>>>>>$

$>>=>>>->>P>B>>>(>>C>D>>->>C>E>>)>>+>>C>E>>>(>>C>D>>->>C>E>>)>>>>>P>B>>>C>E>>>>=>>>>(>>C>D>>->>C>E>>)>>>(>>C>E>>->>P>B>>)>>>>>P>B>>>C>E>>>>>>0>>>$

综合上述两种情况，可得如下结论：在产品的可靠性设计裕度M未知或者设计载荷P_B未知的情况下，可用 $>ver>>K>^>>=>>C>D>>/>>C>E>>>>的值来代替载荷强化系数K，这种偏于保守的估计不会影响可靠性试验与评估的结果，只不过需要多试验几个样本而已。$

为了验证产品的可靠性，通常是在设计载荷P_B下做成败型(F＝0)的试验，其结果是无人质疑的。现在，为了减少试验的样本量，不做设计载荷P_B下的成败型(F＝0)的试验，而是在强化载荷P_A下采用本发明的方法来确定试验样本量。为此，下面从理论上证明本发明的方法能完全等价取代原有设计载荷P_B下的成败型(F＝0)试验。

引入有关等价关系的规定作为引理，叙述如下：

引理：设u和v都是点o的开邻域，f和g是分别定义于u和v上的光滑函数。

f：u→R和g：v→R(这里的R是指实数域)是等价的，当且仅当存在点o的开邻域Wu∩v，使得f|W＝g|W。

故： $>>f>=>>N>A>>>l>n>>>R>A>>=>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>>l>n>>\{>1>->\Phi >[>>(>K>->1>)>>>\mu >\sigma >>->K>>\Phi >>->1>>>>(>>R>B>>)>>]>\}>>>>l>n>>[>1>->\Phi >>(>>>>P>A>>->\mu >>\sigma >>)>>]>>>$

$>>=>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>>l>n>>\{>1>->\Phi >[>>(>K>->1>)>>>\mu >\sigma >>+>K>>>(>>P>A>>/>K>->\mu >)>>\sigma >>]>\}>>>>l>n>>[>1>->\Phi >>(>>>>P>A>>->\mu >>\sigma >>)>>]>->->->>(>10>)>>>>$

由(10)式可明显看出，f是定义在U＝P_A之上的光滑函数。

$>>g>=>>N>B>>>l>n>>>R>B>>=>>N>B>>>l>n>>[>1>->\Phi >>(>>>>P>B>>->\mu >>\sigma >>)>>]>->->->>(>11>)>>>>$

由(11)式可明显看出，g是定义在V＝P_B之上的光滑函数。

又由于1≤K＜M，即

1≤P_A(OA)/P_B(OB)＜M，所以有U∩V＝P_A∩P_B＝OA∩OB＝OB＝P_B，即在O点存在一个开邻域W＝P_B(OB)，满足WU∩V；

另一方面，(10)式进一步变化并整理，得：

$>>f>|>W>=>f>|>>P>B>>=>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>>l>n>>\{>1>->\Phi >[>>(>K>->1>)>>>\mu >\sigma >>+>K>>>(>>P>B>>->\mu >)>>\sigma >>]>\}>>>>l>n>>[>1>->\Phi >>(>>>K>>P>B>>->\mu >>\sigma >>)>>]>->->->>(>12>)>>>>$

$>>=>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>>l>n>>[>1>->\Phi >>(>>>K>>P>B>>->\mu >>\sigma >>)>>]>>>>l>n>>[>1>->\Phi >>(>>>K>>P>B>>->\mu >>\sigma >>)>>]>=>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>>$

根据成败型(F＝0)可靠性试验评估公式(2)，将公式(11)改写成

$>>g>|>W>=>g>|>>P>B>>=>>N>B>>>l>n>>[>1>->\Phi >>(>>>>P>B>>->\mu >>\sigma >>)>>]>=>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>->->->>(>13>)>>>>$

将(12)式和(13)式做比较后可看出，f|W＝g|W成立。

故，可得结论：通过合理选择载荷强化系数K(1≤K＜M)，并在A点通过本发明用强化载荷P_A所确定的试验，与在B点用传统的设计载荷P_B所做的成败型(F＝0)的试验是完全等价的。

例如，某产品设计载荷P_B为100牛，设计承载能力C_D为150牛，载荷(或承载能力)的散差为8％，产品的可靠性要求为0.9999，置信度要求为95％。

若用本发明来验证该产品的可靠性要求，可将样本载荷P_A加大到140牛，K的取值范围为1≤K＜1.5，取K＝1.4，从而计算出所需样本量为6，即只需做完6个样本的试验，便可以对该产品的可靠性做出评价。若该6个样本的试验全部成功，则认为该产品满足可靠度0.9999、置信度95％的要求。只要6个样本的试验中有一个失败了，则需要查找该样本试验的失败原因。若该失败的试验是由产品自身原因造成的，则可认为该产品的可靠度达不到要求。若该失败的试验是由产品自身以外的因素(如试验环境改变)造成的，则需要按照本发明重新做试验。

若用失效数为零的成败型试验方案，令样本为设计载荷，则所需样本量为29957。

若用改进的贝叶斯试验方案，令样本为设计载荷，则所需样本量为20970。

由此可见，本发明通过加大样本载荷或减少样本承载能力，使单个样本所含的试验熵尽可能地趋于最大，而达到用较小的样本数量来验证产品高可靠性、高置信度水平的目的。对于失效数为零的成败型可靠性的验证与评估，与经典方法和目前国内外常用的贝叶斯方法相比，本发明具有试验所需样本量少、试验效率高的优点，特别是对高可靠性、高置信度要求的产品进行可靠性试验时，本发明的优势更为明显，具有广泛的工程应用价值。

另外，在实际应用中，还可将公式(1)的表达式适当变换，导出可靠性评估公式 $>>R>=>\Phi >[>>>>(>K>->1>)>>>\mu >\sigma >>->>\Phi >>->1>>>\{>1>->exp>[>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>N>>]>\}>>K>>]>,>>>实现用给定的试验样本量来确定产品的可靠度水平。$

以两个航天器在空间对接为例，对接初始条件范围给出的最小轴向相对速度v_x，min＝0.16m/s，设计人员在最严酷的偏差组合下，用轴向相对速度v_x＝0.14m/s，成功地进行了6次捕获试验，根据以往的试验数据，已知散差s＝σ/μ＝10％，设计裕度M＝1.5。在置信度γ＝0.7要求下，用公式(1)来评估该对接机构捕获可靠性达到的水平。

$>>>c>D>>=>>1>2>>m>>>v>>x>,>min>>>2>>=>>1>2>>m>>>(>0.16>)>>2>>=>0.0128>m>>>$

$>>>c>E>>=>>1>2>>m>>>v>x>>2>>=>>1>2>>m>>>(>0.14>)>>2>>=>0.0098>m>>>$

根据公式(8)， $>>K>=>1>+>>>0.0128>m>->0.0098>m>>>0.0128>m>>>\times >1.5>=>1.35>.>>>由式(1)可直接导出可靠性评估公式，即$

$>>R>=>\Phi >[>>>>(>K>->1>)>>>\mu >\sigma >>->>\Phi >>->1>>>\{>1>->exp>[>>>>l>n>>>(>1>->\gamma >)>>>N>>]>\}>>K>>]>=>\Phi >[>>>>(>1.35>->1>)>>\times >>100>10>>->>\Phi >>->1>>>\{>1>->exp>[>>>>l>n>>>(>1>->0.7>)>>>6>>]>\}>>1.35>>]>=>0.9994>>>$

由此可得出结论：在减少承载能力的情况下(K＝1.35)，仅做6次成功捕获试验就可得到对接机构捕获可靠性0.9994的评估结果。

若用常规的成败型(F＝0)的试验方法，评估同样的可靠性，则至少需要做 $>>N>=>>>>l>n>>>(>1>->0.7>)>>>>>l>n>>0.9994>>>=>2006>>>次试验。$

可见，用本发明解决小子样可靠性试验与评估问题是非常有效的。