结合模态区间算法的模糊系统可靠性设计方法

技术领域

本发明涉及结构可靠性设计技术领域，特别涉及一种结合模态区间算法的模糊系统可靠性设计方法。

背景技术

1965年，《模糊集合》的发表标志着模糊理论的诞生。此后，模糊数学快速发展，并在各工程领域得到广泛应用。和传统数学运算法则不同的是，模糊数有自己的加、减、乘、除等运算法则，及相应的简化过程。

结构可靠性评估对实际工程来说是十分必要的，能有效保障结构的安全运营。结构系统可靠性通常定义为：在规定的使用条件和环境下，在给定的使用寿命期间，结构系统能有效承受载荷和耐受环境而正常工作的能力。结构系统的可靠度可以由可靠度指标、安全概率（安全可能度）或失效概率（失效可能度）表示，三者是一致的。现代结构系统越来越复杂，易受多种因素影响，难以用数学或力学方法实现精确表述。实践表明，模糊理论可以客观地描述复杂系统问题，得到与工程实际基本相符的模型。由于常规可靠性理论基本假设的局限性，对于模糊问题，若仍使用常规可靠性理论，必将导致计算结果和实际不一致。为此，可靠性分析必然要与模糊数学结合，以建立结构模糊可靠性分析模型。

由模糊数的表现定理及分解定理可知，模糊数与区间套相对应，其运算法则也建立在区间运算法则上。但区间运算过程容易发生区间扩张现象，在模糊系统可靠性设计时会导致错误的可靠度估计。同时在计算串联、并联及混联系统的区间可靠度时，由于系统一般含有多个单元或多种失效模式，也会导致计算结果不合理。

目前可采用改进区间截断法、组合法及优化方法等避免区间扩张现象。但改进区间截断法的截断准则不易确定，计算结果受准则影响较大。组合法和优化方法则存在计算量大和应用局限性等问题，因此需寻求更适合模糊可靠度估计的方法。模态区间算法建立在区间运算的基础上，通过定义逻辑谓词对结果进行语义解释，可以得到精确的参数区间估计。有鉴于此，本发明提出了结合模态区间算法的模糊系统可靠性设计方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种结合模态区间算法的模糊系统可靠性设计方法，该方法不仅提高了系统可靠性设计的正确性，而且降低了计算量。

为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种结合模态区间算法的模糊系统可靠性设计方法，包括以下步骤：

步骤S1、由分解定理定义模糊数运算；

步骤S2、判断模糊数运算算式中的多重事件变量，并分别对多重事件及其子事件进行求导；

步骤S3、判断多重事件及其子事件的单调性是否一致，是则运用强制最优理论进行模态区间分析，否则运用部分强制最优理论进行模态区间分析；

步骤S4、对经分析后的算式按照模态区间运算法则进行计算，得到合理的结果区间；

步骤S5、计算不同水平截集下区间的中点和半径，得到系统的区间可靠度指标、安全可能度和失效可能度，用于系统的可靠性设计；

步骤S6、确定是否按照串联、并联或混联方式进行系统可靠性设计，是则转步骤S7，否则结束；

步骤S7、对于按照串联、并联或混联方式计算系统可靠度的情形，判断串联、并联或混联可靠度计算式中的多重事件变量，并分别对多重事件及其子事件进行求导；

步骤S8、判断多重事件及其子事件的单调性是否一致，是则运用强制最优理论进行模态区间分析，否则运用部分强制最优理论进行模态区间分析，并对经分析后的算式按照模态区间运算法则进行计算，以得到准确的串、并或混联系统的安全可能度和失效可能度；

步骤S9、按照实际需求确定模糊系统的设计可靠度。

进一步的，设p为实数域R上的一个模糊集，λ为阈值或置信水平，若                                               且p的λ截集p_λ是包含于R的有限闭区间，则定义p为R上的一个模糊数；设模糊数，其中为模糊数集，则在步骤S1中，由分解定理定义模糊数运算为：

    (1)

其中，表示多元模糊函数，U表示对多个集合求并集，λ为在[0,1]之间取值的实数，表示取遍λ∈[0,1]时所有模糊集的并集；λ为下标时表示截集，pn_λ表示模糊数pn的λ水平截集，用于将模糊数转换为实数区间，以进行区间运算；λ( )表示λ与括号内集合的截积，用于将运算后的实数区间转换为模糊数，以得到隶属函数；

由表现定理得到隶属函数为：

    (2)

其中，∨表示取上确界，表示在满足条件下取上确界，z为模糊映射后模糊函数值域中的值；

假设实数域R的闭区间集合，以及存在量词E和全局量词U，则模态区间定义为：

    (3)

式中表示经典区间，QX∈(E,U) 表示模态，即一个区间对应两种模态；设=[a, b]，a≤b；当QX=E时，X=[a, b]与经典区间形式一致，定义为规范区间；当QX=U时，X=[b, a]为模态区间特有的形式，定义为不规范区间，不规范区间在运算过程中用于抑制区间的扩张；在模态区间算法中，不规范区间的产生通过一个对偶算子Dual来实现，即：Dual([a,b])=[b,a]；若将函数f中的变量转变成区间形式变量，则函数f相应地变为区间函数，记作fR；在算式fR中，当某一变量出现不止一次，定义其为多重事件变量，对应不同位置的事件定义为多重事件的子事件；然后在步骤S2中，分别对所述多重事件及其子事件进行求导。

进一步的，在步骤S3中，定义强制最优理论为：设X为区间矢量，fR定义在上且对所有多重事件完全单调；设XD为X的扩张矢量，即每个多重事件XD的子事件都是XD中一个独立子事件；但若是XD中任意独立子事件的单调趋势与相应的多重事件单调趋势相反，则将所述子事件变成对偶形式，由此计算出的区间fR(XD)是精确的；

定义部分强制最优理论为：设X为区间矢量，fR定义在上且只对多重事件的部分子集Y完全单调；设XD为X的扩张矢量，即完全单调子集中每个多重事件的每个子事件都包含在XD中；但若是XD中任意独立子事件的单调趋势与相应的多重事件的全局单调趋势相反，则将所述子事件变成对偶形式；余下的多重事件规范区间矢量A_p，除一个子事件外其余所有子事件变换为对偶形式得到子矢量A_p’，从而将X转化为XDT，计算式如式(4)，由此计算出的区间fR(XD)是近似的；

    (4)

其中，XDTk则表示除第k个子事件外其余所有子事件变换为对偶形式。

进一步的，在步骤S5中，运用表现定理求得模糊数准确的隶属度函数：

基于不同水平截集下得到的区间值，得到系统的区间可靠度指标、安全可能度Θ_sp和失效可能度Θ_fp，和分别表示水平截集λ下区间的中点和半径。

进一步的，步骤S1-S5是针对系统一种失效模式或一个单元进行的可靠性设计，单个失效模式或单元的可靠度区间形式如式(5)所示：

    (5)

其中，表示第i个单元的安全可能度， 、分别表示第i个单元安全可能度的上、下确界，表示第i个单元的失效可能度，及分别表示第i个单元失效可能度的上、下确界；

对于具有多种失效模式或由多个单元组成的复杂系统，将系统的可靠度计算归结为串联、并联及混联系统的可靠度计算，串联系统的可靠度为：

    (6)

并联系统的可靠度为：

    (7)

其中，表示多个量连乘。

相较于现有技术，本发明的有益效果在于：1）模态区间算法具有良好的理论基础，在问题分析中便于操作，能很大程度上解决区间扩张问题；2）在模糊数运算过程中，模态区间算法能避免区间扩张，从而得到合理的结果区间，以求得准确的隶属度函数；3）利用不同水平截集下的区间解来计算系统可靠度，保留了中间计算过程的模糊性；4）采用区间可靠度指标来描述模糊系统的可靠度，能有效地降低计算量，并引入区间安全可能度和失效可能度，考虑干涉情况，适用于工程实际问题；5）采用模态区间算法计算串联、并联及混联系统的可靠度，能得到复杂系统准确的可靠度，以保证系统可靠性设计的正确性。

附图说明

图1是本发明实施例的实现流程图。

具体实施方式

本发明在模糊数运算中利用模态区间算法替代经典的区间算法，解决了区间计算过程中容易发生的区间扩张问题，同时由不同水平截集下的区间值得到准确的系统区间可靠度指标、安全可能度及失效可能度。本发明不仅有效降低了计算量，还保留了中间计算过程的模糊性，得到的结果更准确，具有工程实用性。此外，在计算串联、并联及混联系统的区间可靠度时，采用模态区间算法可以避免区间扩张，得到典型系统准确的安全可能度及失效可能度。

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明结合模态区间算法的模糊系统可靠性设计方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤S1、由分解定理定义模糊数运算。

步骤S2、判断模糊数运算算式中的多重事件变量，并分别对多重事件及其子事件进行求导。

设p为实数域R上的一个模糊集，λ为阈值或置信水平，若且p的λ截集p_λ是包含于R的有限闭区间，则定义p为R上的一个模糊数。设模糊数，其中为模糊数集，则在步骤S1中，由分解定理定义模糊数运算为：

    (1)

其中，表示多元模糊函数，U表示对多个集合求并集，λ为在[0,1]之间取值的实数，表示取遍λ∈[0,1]时所有模糊集的并集；λ为下标时表示截集，pn_λ表示模糊数pn的λ水平截集，用于将模糊数转换为实数区间，以进行区间运算；λ( )表示λ与括号内集合的截积，用于将运算后的实数区间转换为模糊数，以得到隶属函数。

由表现定理得到隶属函数为：

    (2)

其中，∨表示取上确界，表示在满足条件下取上确界，z为模糊映射后模糊函数值域中的值。

在式(1)中，括号内的运算建立在区间运算的基础上，同样会产生区间扩张问题，将使得式(2)最终求取的隶属函数不准确。

模态区间算法是一种建立在经典区间的基础上，能够防止区间扩张的算法。假设实数域R的闭区间集合，以及存在量词E（Existential quantifiers）和全局量词U（Universal quantifiers），则模态区间定义为：

    (3)

式中表示经典区间，QX∈(E,U) 表示模态，即一个区间对应两种模态；设=[a, b]，a≤b；当QX=E时，X=[a, b]与经典区间形式一致，定义为规范区间；当QX=U时，X=[b, a]为模态区间特有的形式，定义为不规范区间，不规范区间在运算过程中的作用为抑制区间的扩张；在模态区间算法中，不规范区间的产生通过一个对偶算子Dual来实现，即：Dual([a,b])=[b,a]；若将函数f中的变量转变成区间形式变量，则函数f相应地变为区间函数，记作fR；在算式fR中，当某一变量出现不止一次，定义其为多重事件变量，对应不同位置的事件定义为多重事件的子事件；然后在步骤S2中，分别对所述多重事件及其子事件进行求导。

步骤S3、判断多重事件及其子事件的单调性是否一致，是则运用强制最优理论进行模态区间分析，否则运用部分强制最优理论进行模态区间分析。

其中，定义强制最优理论为：设X为区间矢量，fR定义在上且对所有多重事件完全单调；设XD为X的扩张矢量，即每个多重事件XD的子事件都是XD中一个独立子事件；但若是XD中任意独立子事件的单调趋势与相应的多重事件单调趋势相反，则将该子事件变成对偶形式，由此计算出的区间fR(XD)是精确的。

定义部分强制最优理论为：设X为区间矢量，fR定义在上且只对多重事件的部分子集Y完全单调；设XD为X的扩张矢量，即完全单调子集中每个多重事件的每个子事件都包含在XD中；但若是XD中任意独立子事件的单调趋势与相应的多重事件的全局单调趋势相反，则将该子事件变成对偶形式；余下的多重事件规范区间矢量A_p，除一个子事件外其余所有子事件变换为对偶形式得到子矢量A_p’，从而将X转化为XDT，计算式如式(4)，由此计算出的区间fR(XD)是近似的。

    (4)

其中，XDTk则表示除第k个子事件外其余所有子事件变换为对偶形式。

步骤S4、对经分析后的算式按照模态区间运算法则进行计算，得到合理的结果区间。

步骤S5、计算不同水平截集下区间的中点和半径，得到系统的区间可靠度指标、安全可能度和失效可能度，用于系统的可靠性设计，即运用模糊理论中的表现定理求得模糊数准确的隶属度函数：

基于不同水平截集下得到的区间值，得到系统的区间可靠度指标、安全可能度Θ_sp和失效可能度Θ_fp，其中安全可能度Θ_sp类似于概率方法中的可靠度指标，和分别表示水平截集λ下区间的中点和半径。

步骤S1-S5是针对系统一种失效模式或一个单元进行的可靠性设计，单个失效模式或单元的可靠度区间形式如式(5)所示：

    (5)

其中，表示第i个单元的安全可能度， 、分别表示第i个单元安全可能度的上、下确界，表示第i个单元的失效可能度，及分别表示第i个单元失效可能度的上、下确界。

对于具有多种失效模式或由多个单元组成的复杂系统，将系统的可靠度计算归结为串联、并联及混联系统的可靠度计算，串联系统的可靠度为：

    (6)

并联系统的可靠度为：

    (7)

其中，表示多个量连乘。

复杂系统可靠度的计算过程中，同样产生区间扩张问题，因此应进行模态区间分析。

步骤S6、确定是否按照串联、并联或混联方式进行系统可靠性设计，是则转步骤S7，否则结束。

步骤S7、对于按照串联、并联或混联方式计算系统可靠度的情形，判断串联、并联或混联可靠度计算式中的多重事件变量，并分别对多重事件及其子事件进行求导。

步骤S8、判断多重事件及其子事件的单调性是否一致，是则运用强制最优理论进行模态区间分析，否则运用部分强制最优理论进行模态区间分析，并对经分析后的算式按照模态区间运算法则进行计算，以得到准确的串、并或混联系统的安全可能度和失效可能度。

步骤S9、按照实际需求确定模糊系统的设计可靠度。

结构可靠性分析模型主要涉及应力和强度，前者与外荷载、结构尺寸、材料性能以及支座等因素有关，而这些因素常具有模糊性特征，使得应力也具有模糊性。材料强度是一个复杂的力学量，生产厂家、试样质量情况、试验条件、试件尺寸和加工方法等模糊因素均可能对其造成影响。为尽可能符合具体情况，应利用模糊数学方法，依靠设计人员的经验和判断，采用主观模糊变量来处理。因此，采用模态区间算法避免模糊运算过程中区间扩张的问题，对模糊系统的可靠性设计有着重要的作用。

本发明利用模态区间算法计算模糊系统的可靠度，即在模糊数运算过程中采用模态区间算法代替经典区间算法，通过对多重事件及其子事件的单调性分析，运用强制最优理论或者部分强制最优理论，实现区间扩张的抑制，从而得到合理的结果区间。通过在不同水平截集下的区间估计值，可以计算系统的区间可靠度指标、安全可能度和失效可能度，用于模糊系统的可靠性设计。对于按照串联、并联及混联方式计算复杂系统可靠度的情形，同样需要对串联、并联及混联可靠度计算式进行模态区间分析，并得到准确的系统安全和失效可能度，最终按照实际需求确定模糊系统的设计可靠度。

以上是本发明的较佳实施例，凡依本发明技术方案所作的改变，所产生的功能作用未超出本发明技术方案的范围时，均属于本发明的保护范围。