基于拉格朗日乘数法的地磁矢量测量系统误差校正方法

技术领域

本发明属于磁测量领域，具体涉及一种基于拉格朗日乘数法的地磁矢量测量系统误差校准方法，主要针对三轴磁传感器固有误差、测量系统的软磁和硬磁干扰以及三轴磁传感器与惯导系统之间的敏感轴非对准误差。

背景技术

地磁场是一个矢量场，在地理坐标系下，其三个分量分别为北向分量X、东向分量Y和垂直分量Z，一般所说的地磁矢量就是指这三个分量。因此在实际测量中，用三轴磁传感器测量地磁场在磁传感器敏感轴方向的投影分量，通过与三轴磁传感器捷联的惯导系统提供其与地理坐标系之间的欧拉角，从而将三轴磁传感器输出转换为地理坐标系下的投影，便可实现地磁矢量测量。基于该原理的地磁矢量测量系统的测量误差主要来源有：三轴磁传感器固有误差、测量系统的软磁和硬磁干扰以及三轴磁传感器与惯导系统之间的敏感轴非对准误差等。针对这三类主要误差，大多数的研究都是根据各自的特点建立误差模型，通过估计误差模型参数从而实现误差校准。

对于三轴磁传感器固有误差(零偏误差、刻度因子误差和三轴非正交误差)，J.M.G.Merayo(J.M.G.Merayo.Scalar calibration of vector magnetometers，Meas.Sci.Technol.2000,11(1):20-32)基于地磁场模值不变原理，推导出传感器三轴测量值与磁场标量值之间的线性化参数模型，进行最小二乘估计得到传感器误差参数，从而实现误差校正。C.C.Foster(C.C.Foster.Extension of a two-step calibration methodology to include nonorthogonal sensor axes[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2008,44(3):1070-1078.)采用椭圆拟合方法进行传感器误差模型参数估计和误差校正。

对于干扰磁场，P.Leliak.(P.Leliak.Identification and evaluation of magnetic field sources of mag-netic airborne detector equipped aircraft，IRE TRANSACTIONS ON AEROSPACE AND NAVIGATIONAL ELECTRONICS,1961,95-105)基于Tolles-Lawson方程，进行了航空磁干扰补偿研究。张晓明(张晓明,赵剡.基于椭圆约束的新型载体磁场标定及补偿技术，仪器仪表学报,2009,30(11):2438～2443.)依据椭圆假设，将磁场测量轨迹近似看作一个椭圆，采用最小二乘方法进行参数辨识。上述两种方法只能补偿磁场模值误差,不能用于磁场分量误差补偿。

对于敏感轴非对准误差，庞鸿锋采用直角型台面和正六面箱体(庞鸿锋等.用于地磁要素测量系统的非对准误差校正方法，国家发明专利,专利号：201210355541.7)，在直角型台面上多次翻转无磁六面体，利用重力矢量不变性，建立非线性方程组，求解磁传感器与惯性元件之间的非对准角，从而得到两个敏感轴坐标系之间的欧拉旋转矩阵，实现非对准误差校正。该方法要求直角型台面的平面度和垂直度非常高，且每次翻转都要求台面和箱体紧密契合。

上述研究均是针对地磁矢量测量系统的某一项误差进行校正的。单项误差分离校正，不仅程序复杂，而且误差传递会降低校正精度。若建立地磁矢量测量系统的综合误差模型，进行误差综合校正，不仅简化流程，而且可以提高精度。

而在误差综合校准方面，张琦(张琦等.一种基于线性模型的地磁矢量测量误差综合补偿方法，国家发明专利,申请号：201410477818.2)，根据全球地磁模型计算出试验区域的地磁场矢量值；以三轴磁传感器和惯导系统输出值建立地磁矢量测量模型；求解方程组后，便可得到误差模型参数和补偿后的地磁场值矢量。但由全球地磁模型得到的地磁场矢量本身也有误差，会影响参数估计精度，从而降低误差校准精度。

综上可知，现有的单项误差分离校正的方法不能满足地磁矢量测量精度的需求，而基于全球地磁模型的误差综合校正方法也有固有缺陷，因此，研究一种用于地磁矢量测量系统的综合误差校准方法具有一定的理论意义和实用价值。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提出一种基于拉格朗日乘数法的地磁矢量测量系统误差校正方法，包括以下步骤：

(S1)选取校准区域，在区域中心位置设置一个无磁平台，用质子磁力仪测量无磁平台上方的地磁场总量，记作：T_e；

(S2)将地磁矢量测量系统封装在一个无磁L面箱体中，L≥4且取整数，将箱体放置在无磁平面上；所述地磁矢量测量系统包括三轴磁传感器和惯导系统；所述惯导系统由陀螺仪和加速度计组成。

(S3)翻转无磁L面箱体，依次使箱体的每个面作为底面放置在无磁平台上；当每个面作为底面时，使L面箱体绕无磁平台的垂轴等角度差值旋转R个姿态，R≥4，且取整数，记录每个姿态时刻的三轴磁传感器输出值和惯导系统的输出值；

(S4)根据步骤(S3)中所有姿态下的三轴磁传感器和惯导系统输出值，建立线性方程组，以步骤(S1)中地磁场总量作为约束条件，联合求解，得到综合误差模型参数；进一步得到校准后的地理坐标系和磁传感器坐标系下的地磁矢量值。

进一步地，所述步骤(S4)具体为：

(a)建立线性方程组记为A^TAX＝λDX，求线性方程组A^TAX＝λDX的广义特征值λ_i和特征向量a_i得到(λ_i,a_i),(i＝1,2，...，15)，其中矩阵A为三轴磁传感器和惯导系统输出值构成的3N×15矩阵；N＝L×R是翻转姿态数；

(b)选取广义特征值λ_i(i＝1,2，...，15)中对应于最小正特征值λ_k的那组特征向量a_k，令T表示转置符号，则最优估计矢量为μ_ka_k；

(c)根据最优估计矢量分别计算以下地磁矢量和综合误差模型参数：

其中表示地磁场矢量在地理坐标系下的投影矢量估计值，是综合干扰系数，是综合偏置磁场；表示矩阵的逆矩阵。所述综合误差模型参数包括综合干扰系数和综合偏置磁场；

(d)根据所述综合误差模型参数，依据下式计算：

对地磁矢量测量系统测得的磁场值进行实时校准，得到校准后的地理坐标系下的地磁矢量值和磁传感器坐标系下的地磁矢量值其中T_in是惯导坐标系至地理坐标系的欧拉旋转矩阵，由惯导系统输出数据构成，B_t1为三轴磁传感器的测量值，表示矩阵T_in的逆矩阵。

进一步地，所述步骤(S1)中校准区域的地磁场是均匀稳定的，且磁场梯度小于5nT/m。

进一步地，所述姿态数取值R＝6或8。

进一步地，所述L取值为6。

为了更好理解本发明的技术方案，现将其原理及计算公式推导详细叙述如下：

本发明提出一种对设备要求低、操作简便的地磁场矢量测量系统误差校正方法。地磁矢量测量系统由三轴磁传感器和惯导系统组成，其中惯导系统为系统提供姿态信息。将测量系统放置在一无磁平台上，进行若干姿态翻转，得到多组姿态值和三分量磁场值，建立线性方程组；采用质子磁力仪测量无磁平台上方的地磁场总量，作为约束条件，联合求解，不仅可以得到误差模型参数，还可以得到该区域地磁矢量。利用所得误差模型参数，可以实现对地磁矢量测量系统的误差校正。具体过程：

(一)选取一个地磁场稳定且较为均匀的校准区域(磁场梯度<5nT/m)，在中心区域设置一个无磁平台；

(二)用质子磁力仪测量无磁平台上方的地磁场总量，记作T_e；

(三)将构成地磁场矢量测量系统的三轴磁传感器和惯导系统封装在一个无磁L面箱体中，三轴磁传感器与惯导系统的敏感轴不需要精确对准和标定；

(四)建立坐标系1：以测量系统中心点为坐标原点，以三轴磁传感器敏感轴为坐标轴构成的坐标系，也称为磁传感器坐标系；

(五)建立坐标系2：以测量系统中心点为坐标原点，以惯导系统敏感轴为坐标轴构成的坐标系，也称为惯导坐标系；

(六)建立坐标系3：以测量系统中心点为坐标原点，分别以地理北向、地理东向和垂直向下为x、y、z轴构成的坐标系，也称为地理坐标系；

(七)地磁场矢量在地理坐标系下的投影矢量为B_e＝[B_ex>ey>ez]，是待求解量；

(八)磁传感器坐标系与惯导坐标系之间的欧拉角(非对准角)为α₀,β₀,γ₀，是大小未知的常量，则两个坐标系之间的欧拉旋转矩阵T_mi为：

(九)惯导坐标系与地理坐标系之间的欧拉角由惯导系统输出，其航向角、俯仰角、滚转角分别记为：α,β,γ，则两个坐标系之间的欧拉旋转矩阵T_in为：

(十)地磁场矢量在磁传感器坐标系下的投影矢量为B_ep＝[B_epx>epy>epz]^T，则B_e与B_ep满足关系式(3)：

B_ep＝T_miT_inB_e>

(十一)在磁传感器坐标系下，三轴磁传感器测量模型可以表示为：

其中B_t＝[B_tx,B_ty,B_tz]^T为三轴磁传感器的测量值，C为刻度因子不一致性误差和非正交误差合成的常系数矩阵，A_s为系统软磁系数矩阵，I_3×3为3阶单位矩阵，B_b为硬磁常矢量，B₀为表征磁传感器零偏的常矢量，B_d＝CB_b+B₀＝[B_dx,B_dy,B_dz]^T为综合误差矢量(此为常矢量)，为三轴磁传感器固有误差、测量系统的软磁和硬磁干扰合成综合误差系数矩阵，该矩阵为常系数矩阵；

(十二)借助关系式(3)，三轴磁传感器的测量模型可以表示为：

B_t＝A_tT_miT_inB_e+B_d＝MT_inB_e+B_d>

其中M＝A_tT_mi为三轴磁传感器固有误差、测量系统的软磁和硬磁干扰以及三轴磁传感器与惯导系统之间的敏感轴非对准误差等三类误差合成的综合干扰系数矩阵。

(十三)进一步，得到地磁矢量的表达式：

T_inB_e＝M^-1(B_t-B_d)>

其中

(十四)进一步整理后，得到分量方程形式：

通过N组测量，具体测量过程为：此处以六面箱体进行说明，将六面箱体的六个面分别标记为1号至6号，将六面箱体放置在无磁平台上，首先，底面为1号面；将六面体绕无磁平面的垂轴等角度差值旋转M个姿态，记录三轴磁传感器和惯导系统的输出值；依次按照底面为2、3、4、5、6的顺序，重复上述做法，总共得到N＝6×R组三轴磁传感器和惯导系统的输出值，可以建立如下线性方程组：

AX＝0 (8)

其中

b₁＝m₁₁B_d1+m₁₂B_d2+m₁₃B_d3

b₂＝m₂₁B_d1+m₂₂B_d2+m₂₃B_d3

b₃＝m₃₁B_d1+m₃₂B_d2+m₃₃B_d3

显然

(十五)引入待定乘子λ，则构造拉格朗日函数为：

由L(X)的极值必要条件可得：

其中A^TA和D均为已知的15阶方阵，且D不可逆，故广义特征问题A^TAX＝λDX有解(λ_i,a_i)，(i＝1,2,...,15)，且对于任意非零常数μ，(λ_i,μa_i)仍然是该广义特征值问题的解。若要满足则要有设下标j表示特指满足等式要求的某些特征向量，通过实验数据构成的矩阵A^TA是正定矩阵，所以有可见，满足等式约束的特征值λ_j＞0，此时且(λ_j,μ_ja_j)是满足等式约束的拉格朗日函数的全部极值。

(十六)由于

故取(λ_j,μ_ja_j)中的最小特征值所对应的那组特征向量a_k乘以系数μ_k所得的向量μ_ka_k便是最优解，根据最优估计矢量和各参数定义得到：

其中是估计所得的地磁矢量，是综合干扰系数，是综合偏置磁场。字母上带尖角符号表示该变量对应的估计值；当获取了误差参数后，根据下式：

可对地磁矢量测量系统测得的磁场进行实时校准。得到校准后的地理坐标系和磁传感器坐标系下的地磁矢量值其中T_in是惯导坐标系至地理坐标系的转换矩阵，由惯导系统数据构成。

采用本发明取得的有益效果：主要利用惯导系统和三轴磁传感器的输出信息，建立包含干扰磁场、磁传感器固有误差和敏感轴非对准误差的综合误差模型，以地磁场总量作为约束条件，基于拉格朗日乘数法估计地磁场矢量和误差模型参数，然后通过已求得的误差参数实时校正地磁矢量测量系统误差。本发明建立磁场分量数学模型，又引入了磁场模值约束，可以提高误差模型参数估计的准确度和误差校正的精度。本发明是一种对设备要求低、操作简便、运算量小的地磁矢量测量系统误差校正方法。

附图说明

图1是本发明步骤流程示意图。

图2是本发明中补偿装置布置示意图；

具体实施方式

下面，结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

1、设置仿真条件，对本发明进行仿真试验。

1)设定试验区域地磁场矢量为B_e＝[35200>e＝48397nT。

2)根据先验知识，预先设定测量系统中一些参数的数值(在磁传感器坐标系下)，具体为：

3)磁坐标系与惯导坐标系之间的欧拉角分别为：[α₀>0>0]＝[8>

4)设定磁传感器的测量噪声是标准差为5nT的高斯白噪声，惯导系统的测量噪声是标准差为0.5度的高斯白噪声。

2、如图1所示，为本发明方法工作流程图，实施例中选择无磁正六面箱体，按照发明步骤，获取测量数据。

1)将正六面箱体放置在无磁平面上，底面为1号面，如图2所示；

2)将正六面箱体绕无磁水平面的垂轴，水平等角度差值旋转4个姿态，记录三轴磁传感器和惯导系统的输出值；

3)依次按照底面为2号至6号的顺序，重复上一骤，得到的测量数据如表1所示。

表1惯导系统和三轴磁传感器的测量数据(用于参数估计)

3、建立式(11)方程组，求解综合误差模型参数和地磁矢量。

其中是三类综合误差系数矩阵的逆矩阵估计，是综合偏置矢量估计，是地磁矢量估计。

4、评估所求综合误差模型参数和地磁矢量。

是根据仿真参数得到的综合干扰系数的逆矩阵和综合偏置磁场矩阵，结合设定的地磁矢量可见：

1)综合干扰系数矩阵的估计值与预设值基本一致；

2)综合偏置磁场的真实值与估计值之间的误差小于2nT；

3)地磁场矢量和模值的真实值与估计值之间的均误差小于1nT。

5、评估基于所求误差模型参数的误差校准效果。

重新模拟生成一组数据用于补偿评估，如表2所示。然后利用式(11)，对磁传感器测量值进行补偿，表3为地磁矢量补偿值与真实值的误差，各分量误差均值小于4nT，分别为X分量1.18nT,，Y分量0.19nT，Z分量3.85nT，总量0.83nT；误差标准差小于12nT，分别为X分量9.23nT,，Y分量9.25nT，Z分量11.32nT，总量8.87nT。

表2惯导系统和三轴磁传感器的测量数据(用于补偿评估)

表3补偿后，地磁场矢量和总量的误差(nT)

进一步地，应当指出，本发明并不局限于以上特定实施例，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出任何变形或改进。