(R<'d>)中的多小波框架、多小波采样定理以及特殊的Sobolev空间L<,2>(R<'d>)中的小波框架、多小波等, 其中d≥ 1。
　　 第一章简要介绍小波分析的发展史以及国内外的研究现状。
　　 第二章给出一些基本概念以及本文主要用到的记号。
　　 第三章研究(H<'s>(R<'d>),H<'-s>(R<'d>))中的M-对偶多'/> Sobolev空间中的多小波框架理论和采样定理-博士-中文学位【掌桥科研】
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Sobolev空间中的多小波框架理论和采样定理

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第1章绪论

第2章基本概念和记号

第3章Sobolev 空间中的M-对偶多小波框架

第4章Sobolev 空间中的多小波采样定理

第5章L2(R) 中的加细函数向量和多小波

第6章L2(Rd)中的小波框架

参考文献

第7章攻读博士学位期间主要研究成果

第8章致谢

第9 章个人简历

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摘要

本论文主要研究Sobolev空间H<'s>(R<'d>)中的多小波框架、多小波采样定理以及特殊的Sobolev空间L<,2>(R<'d>)中的小波框架、多小波等, 其中d≥ 1。
　　 第一章简要介绍小波分析的发展史以及国内外的研究现状。
　　 第二章给出一些基本概念以及本文主要用到的记号。
　　 第三章研究(H<'s>(R<'d>),H<'-s>(R<'d>))中的M-对偶多小波框架, 其中s∈R+,M是可对角化的伸缩矩阵。系统研究了(H<'s>(R<'d>),H<'-s>(R<'d>))中多小波框架的Bessel 性质。H<'s>(R<'d>)中的多小波框架不要求具有消失矩, 另外,H<'-s>(R<'d>)中多小波框架具有Bessel 性质所需的条件与此空间中的小波框架不同, 因为该性质不仅与框架函数本身有关而且与加细函数向量有关。基于一类满足Bessel 性质的加细函数向量, 构造出(H<'s>(R<'d>),H<'-s>(R<'d>))中的M-对偶多小波框架。
　　 传统的小波(或多小波)采样定理仅适用于小波(或多小波)子空间中的信号。假设L<,2>(R)中的某连续信号f不属于任何的小波(或多小波)子空间, 或者难以判断它是否属于某个子空间, 那么传统的采样定理将失效。基于第三章的理论, 第四章构造一类特殊的对偶多小波框架, 并由此导出Sobolev空间H<'s>(R)中的多小波采样定理, s＞1/2。对于L<,2>(R)中的连续信号, 运用此采样定理均可精确重构。
　　 第五章给出加细函数向量逼近阶的快速提升算法, 以及给出对称正交多小波的参数化构造。(Ⅰ)两尺度相似变换(TST)是一种提升加细函数向量逼近阶的重要方法。然而每次实施TST, 只能提升一阶逼近阶. 本章所提供的算法能一次提升逼近阶到任意指定的整数。 进一步地, 它还能够保持加细函数向量的对称性。(Ⅱ)对称性和正交性是多小波的两个十分重要的性质。给出一类仿酉对称矩阵的构造算法,基于仿酉对称矩阵和已有的对称正交多小波, 可以得到含参数的对称正交多小波。 恰当选择参数可得到具有优良性质的多小波, 比如对称Armlets。
　　 第六章的主要工作是给出L<,2>(R<'d>)中的小波框架的构造算法。(Ⅰ)给出L<,2>(R<'d>)中的不可分对偶小波框架的显式构造。利用张量方法, 能十分容易地构造高维可分的小波、小波框架. 然而, 可分的小波、小波框架在应用上有些缺陷, 特别地, 在图像处理中, 会留下较明显的人为痕迹. 本章基于L<,2>(R<'d1>)中的对偶M-小波框架和L<,2>(R<'d2>)中的对偶?M-小波框架, 给出L<,2>(R<'d>)中的对偶Ω -小波框架的构造。另外, 还给出了小波框架的正则性提升格式和对称化算法。(Ⅱ)给出L<,2>(R<'d>)中的对称正交小波框架的显式构造. 从L<,2>(R<'d>)的对称正交小波框架出发,基于Han的投影算法, 显式构造出L<,2>(R<'n>)中的对称正交小波框架, n ≤d。

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