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基于非稳态不可压缩流的可扩张并行算法研究

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第1章绪论

第2章基于仿真问题的牛顿－克雷洛夫－施瓦兹算法

第3章基于控制问题的拉格朗日－牛顿－克雷洛夫－施瓦兹算法

第4章求解互补问题的半光滑－牛顿－克雷洛夫－施瓦兹算法

第5章基于牛顿－克雷洛夫－施瓦兹并行算法的液力变矩器内流场数值分析

结论

参考文献

致谢

附录A

附录B

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摘要

PDE约束的优化问题是指由偏微分方程组(PDEs)约束的优化系统。仿真问题 是指在给定合适的数据(例如几何形状,系数,边界条件,初始条件,源函数)的情况 下,求解偏微分方程组中的例如位移,速度,温度,电场,磁场,种浓度等状态变量。 而和仿真问题相对应的是优化问题,优化问题的目的是在满足一个目标函数和约 束条件下,寻求一些例如状态变量等的决策变量,其中这些约束常常是基于仿真问 题所对应的偏微分方程组。PDE约束优化问题的规模,复杂性和无限维性质对目 前通用的优化算法产生了重大挑战。正是由于该类问题的这些特征,从而往往需 要使用正规化,迭代求解器,预处理,全局化技术,不精确求解和针对问题的特点 来构造基本并行算子等方法来求解该类问题。
随着并行计算机的技术和规模的发展,可以解决非常复杂的数值问题,包括由 非线性偏微分方程组(PDEs)约束的优化问题。这种计算复杂性的上升趋势就要求 我们设计可扩张的并行算法和采用现代软件工程的先进数值库技术。本文介绍了 运用并行计算方法求解PDE约束优化问题和相应的仿真问题,提出了一类求解该 类问题的新的全耦合全空间并行算法。本博士论文由以下几部分组成：
在第2章中,本博士论文探讨一类由Navier-Stokes方程组得到的非定常不可压 缩流的仿真问题的全耦合的,并行的牛顿一克雷洛夫一施瓦兹(NKS)算法。该算法包 括两个主要部分：外部迭代的非线性牛顿法和线性迭代部分的一个Two-level施瓦 兹预条件子。现有方法中,计算此类仿真问题一般都是基于所谓的减空间法,该方 法更容易实现,但是可能在算法的收敛性上有一些问题和缺陷,从而导致算法常常 是不收敛的。因此,本论文采用一类新型算法：全空间方法。将状态变量耦合到一 个单一的大的非线性方程组系统中。该耦合系统相较于其子系统变得更病态,尽 管如此,在NKS方法的强效下,可以在大规模并行计算机上有效地解决这些困难的 系统。数值结果显示了该并行算法的牛顿迭代次数和线性迭代次数同时独立于网 格数,内核个数和雷诺数,并且在超过两千个内核的情况下,验证了该并行算法的 可扩展性。
在第3章中,本博士论文构造了一种全隐格式的并行区域分解算法来求解带 时间项的非线性偏微分方程组约束的优化问题。特别地,研究了非定长不可压 缩Navier-Stokes方程的边界控制问题。在时间隐式离散后,一个全耦合非线性稀 疏的子优化问题需要在每个时间步进行求解。本论文使用一类全空间的拉格朗日一 牛顿一克雷洛夫一施瓦兹(LNKS)算法用来求解该子优化问题。在优化算法中,全隐 全空间方法被认为是最简单考虑到而又最难实现的一类方法。而本文的数值结果 表明含有限制加性施瓦兹预条件子的LNKS算法是求解这些高难问题的一类有效 方法。为了展示该算法的可扩展性和鲁棒性,本论文在一些不同的雷诺数和时间步长,计算规模涉及几百万个未知量并且在超过二千个内核的情况下研究其计算 性能。
在第4章中,本博士论文提出了一类并行半光滑一牛顿一克雷洛夫一施瓦兹(SNKS) 算法求解一类不等式约束的优化问题：互补问题。在半光滑一牛顿一克雷洛夫一施瓦兹 算法中包含了非精确半光滑牛顿法,克雷洛夫子空间法和施瓦兹预处理技术。通 过使用半光滑函数,此优化问题的解可以通过求解一个大型稀疏非线性系统的代 数方程组而得到。数值结果表明了该方法的有效性。
最后在第5章,基于牛顿一克雷洛夫一施瓦兹并行算法,本博士论文模拟了液力 变矩器内流场分布。
本论文编写的并行程序是在由Argonne国家实验室开发的软件“Portable,Ex- tensible Toolkit for Scientific computation (PETSc)”的基础上研发的。因此,在附 录中,简单地描述PETSc的一些使用方法,正是基于此面向对象的软件,编写了基 于优化控制问题的并行程序,并进行了数值实验。

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