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一道IMO试题的探源及启发

     
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@@ 第二十届IMO竞赛有这样一题:设a,b,c分别为一个三角形三边的边长,证明:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并指出等号成立的条件.此不等式的左边是轮换式(将a换为b,b换为c,c换为a时不变)但不是对称式(将a,b互换时不变,将b,c互换时不变),证明方法通常有两种,一种是把它化为一个不带附加条件,b+c＞a,a+c＞b,a+b＞c的不等式,即可令a=y+z,b=z+x,c=x+y,(x,y,z＞0),另一种是设a为最大边,即可令a=x+y+z,b=x+z,c=y+z(x,y≥0,z＞0)代入不等式左边,然后证明其非负,最简单的方法是原联邦德国选手伯恩哈德·里普的解法,他将此不等式左边写成a(b-c)2(b+c-a)+b(a-c)(a-b)(a+b+c),(a是最大边)从而获得结果,为此他获得了特别奖.笔者对这一优秀赛题的来源作了一些探索,发现此不等式可转化为三角形三边长的另一形式或三角不等式(容易证明),当初命题者可能正是循此源泉将题目设计出来的.笔者在这一探源过程中,受到一定的启发,从而发现一些新颖的不等式.

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