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A numerical methodology for the Painlevé equations

机译：Painlevé方程的数值方法

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The six Painlevé transcendents P_I-PV_I have both applications and analytic properties that make them stand out from most other classes of special functions. Although they have been the subject of extensive theoretical investigations for about a century, they still have a reputation for being numerically challenging. In particular, their extensive pole fields in the complex plane have often been perceived as 'numerical mine fields'. In the present work, we note that the Painlevé property in fact provides the opportunity for very fast and accurate numerical solutions throughout such fields. When combining a Taylor/Padé-based ODE initial value solver for the pole fields with a boundary value solver for smooth regions, numerical solutions become available across the full complex plane. We focus here on the numerical methodology, and illustrate it for the P_I equation. In later studies, we will concentrate on mathematical aspects of both the P_I and the higher Painlevé transcendents.
机译：六个Painlevé先验者P_I-PV_I具有应用程序和分析属性，这使其在大多数其他特殊功能类别中脱颖而出。尽管它们已成为大约一个世纪以来广泛的理论研究的主题，但它们仍因在数字方面具有挑战性而享有声誉。特别是，它们在复杂平面中广阔的极场通常被认为是“数字雷场”。在当前的工作中，我们注意到Painlevé属性实际上为在整个此类领域中提供非常快速，准确的数值解提供了机会。当结合用于极场的基于Taylor /Padé的ODE初始值求解器和用于平滑区域的边界值求解器时，可以在整个复杂平面上使用数值解。在这里，我们将重点放在数值方法上，并针对P_I方程进行说明。在以后的研究中，我们将专注于P_I和高级Painlevé先验者的数学方面。

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