数控机床热误差补偿高次多阶自回归分布滞后建模方法

技术领域

本发明属于数控机床误差补偿应用领域，具体涉及一种机床热误差的补偿建模方法。

背景技术

在机械加工中，由于机床各部件温升引起的热变形，使机床上刀具与工件之间原来相对 正确的位置产生了变化，从而造成了加工误差。大量研究表明，热误差是机床的最大误差源， 占机床总误差的30％～70％，因此建立精度高的数学模型对机床热误差进行建模以实现机 床热误差的补偿是提高加工精度的关键技术。目前数控机床热误差建模方法一般有：传统多 元回归、神经网络、自回归分布滞后模型，即ADL模型。其中，传统多元回归算法建模简 单方便，但精度低，稳定性差，难以实现数控机床热误差高精度补偿。神经网络模型相对于 多元回归精度较高，但需大量样本进行训练、建模复杂、应用相对困难。ADL模型可以将 补偿精度相对于多元回归模型提高数倍，但是补偿精度还是不足以实现精密数控机床热误差 补偿。

发明内容

本发明是为避免上述现有技术所存在的不足之处，提供一种应用简便、建模容易、稳定 性高、比传统的ADL模型具有更高的精度的数控机床热误差补偿高次多阶自回归分布滞后 建模方法。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明数控机床热误差补偿高次多阶自回归分布滞后建模方法的特点是按如下步骤进 行：

步骤1：定义高次多阶自回归分布滞后模型的表达式如式(1)：

$y_t={\alpha }_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}({\alpha }_{i,1}{y}_{t-i}^w+{\alpha }_{i,2}{y}_{t-i}^{w-1}+,L,{\alpha }_{i,w}{y}_{t-i})+\underset{j=1}{\overset{u}{\Sigma }}\underset{k=0}{\overset{n}{\Sigma }}({\beta }_{j,k,1}{x}_{j,t-k}^w+{\beta }_{j,k,2}{x}_{j,t-k}^{w-1}+,L,{\beta }_{j,k,w}{x}_{j,t-k})---\left(1\right)$

式(1)中x_j，t-k为参加建模的第j个温度传感器第t-k次温度测量值；j＝1，2，3L u，u 为建模使用的温度传感器的个数；t＝1，2，3L l，l为数控机床热误差测量次数；k为相对 于t滞后k次，K＝1，2，3L n；y_t为数控机床热误差第t次测量值；y_t-i是数控机床热误差 第t-i次测量值，表示相对于t滞后i次的数控机床热误差测量值，i＝1，2，3L m；m和n分 别为y_t和x_j的最大滞后期，取值范围分别为1、2、3或4，具体取值根据第4步赤池信息 准则判断；α₀，α_i，1，L α_i，w和β_j，k，1，β_j，k，2Lβ_j，k，w均为待求系数；w为x_j和y_t的最高次数， w取值为2；

对于式(1)，记：K_m，n＝[α₀]，

$A_m=[y_{t-1}^w,y_{t-1}^w,L,y_{t-1},L,y_{t-m}^w,y_{t-m}^w,L,y_{t-m}],$

$B_n=[x_{1,t}^w,x_{1,t}^{w-1},L,x_{1,t},L,x_{u,t-n}^w,x_{u,t-n}^{w-1},L,x_{u,t-n}],$

C_m＝[α_1，1，α_1，2，L，α_1，w，L，α_m，1，α_m，2，L，α_m，w]^T，

D_n＝[β_1，0，1，β_1，0，2，L，β_1，0，w，L，β_u，n，1，β_u，n，2，L，β_u，n，w]^T

将式(1)简代表达为式(2)：

y_t＝K_m，n+A_m×C_m+B_n×D_n                    (2)

步骤2：通过最小二乘法算计待求系数K_m，n、C_m、D_n，以确定式(2)：

取数控机床热误差滞后期m和数控机床实测温度滞后期n分别为1、2、3和4，由式(2) 根据最小二乘法计算得出：K_1，1、C₁、D₁，K_1，2、C₁、D₂，L，K_4，4、C₄、D₄；

步骤3：求滞后期分别为m和n时y_t估计值y′_m，n，t：

将步骤2中得到的A_m、B_n、K_m，n、C_m、D_n代入公式y′_m，n，t＝K_m，n+A_m×C_m+B_n×D_n；计算数 控机床热误差估计值序列y′_m，n，l，y′_m，n，l-1，L y′_m，n，1，求出数控机床热误差y_t滞后期m和 数控机床实测温度x_j滞后期n取值分别为1，、2、3和4时数控机床热误差估计值序列：

y′_1，1，l，y′_1，1，l-1，Ly′_1，1，1

y′_1，2，l，y′_1，2，l-1，Ly′_1，2，1

N

y′_4，4，l，y′_4，4，l-1，Ly′_4，4，1；

步骤4：通过确定最佳滞后阶数m和n建立最终模型：

由数控机床热误差实测序列y_l，y_l-1，Ly₁和由步骤3得到的数控机床热误差估计值序 列y′_m，n，l，y′_m，n，l-1，Ly′_m，n，1计算残差平方和${\mathrm{RSS}}_{m,n}=\underset{i=1}{\overset{l}{\Sigma }}{(y_t-y_{m,n,t}^{\prime })}^2;$将残差平方和 RSS_m，n代入赤池信息量准则${\mathrm{AIC}}_{m,n}=2k+n\times \ln \left(\frac{{\mathrm{RSS}}_{m,n}}{n}\right)$计算出数控机床热误差y_t滞后期 m和机床温度x_j滞后期n取值分别为1，、2、3和4时的赤池信息量AIC_1，1、AIC_1，2LAIC_4，4； 通过赤池信息量判断最佳滞后阶数，当赤池信息量AIC_m，n取值为最小时，对应的m和n即 为数控机床热误差的高次多阶自回归分布滞后模型最佳滞后期；取得最佳滞后期时的m和n 对应的A_m、B_n、K_m，n、C_m、D_n代入式(2)，即为数控机床热误差补偿高次多阶自回归分 布滞后模型。

与已有技术相比，本发明有益效果体现在：

1、因为本发明模型为高次自回归分布滞后模型，综合了传统多元回归模型和自回归分 布滞后模型各自的优点，在应用中具有比传统多元回归模型和自回归分布模型更高的精度， 所以本发明模型可以实现高精度的数控机床热误差补偿。

2、因为本发明数控机床热误差高次多阶自回归分布模型为高次，而传统的自回归分布 滞后模型只为1次，所以本发明方法极大地丰富了数控机床热误差建模技术，为数控机床热 误差建模提供了一种新的建模方法。

3、本发明建模技术使用简便、稳定性高、可靠性强，可通过软件编程实现在线数控机 床X轴方向上和Z轴方向上的数控机床热误差补偿。

4、本发明提出了一种新型高次多阶自回归分布滞后模型，完善并丰富了传统的自回归 分布滞后模型(ADL模型)，为数学建模技术提供了一种新的参考方案。

附图说明

图1为数控机床热误差补偿效果图。

具体实施方式

实施例中数控机床热误差y_t(以X轴向热误差为例)和数控机床实测温度x_j，t(j取值 为1、2、3)记录如下：

表1数控机床热误差实测值和温度实测值

步骤1：定义高次多阶自回归分布滞后模型的表达式如式(1)：

$y_t={\alpha }_0+\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}({\alpha }_{i,1}{y}_{t-i}^w+{\alpha }_{i,2}{y}_{t-i}^{w-1}+,L,{\alpha }_{i,w}{y}_{t-i})+\underset{j=1}{\overset{u}{\Sigma }}\underset{k=0}{\overset{n}{\Sigma }}({\beta }_{j,k,1}{x}_{j,t-k}^w+{\beta }_{j,k,2}{x}_{j,t-k}^{w-1}+,L,{\beta }_{j,k,w}{x}_{j,t-k})---\left(1\right)$

式(1)中x_j，t-k为参加建模的第j个温度传感器第t-k次温度测量值；j＝1，2，3Lu，u 为建模使用的温度传感器的个数；t＝1，2，3Ll，l为数控机床热误差测量次数；k为相对 于t滞后k次，K＝1，2，3Ln；y_t为数控机床热误差第t次测量值；y_t-i是数控机床热误差 第t-i次测量值，表示相对于t滞后i次的数控机床热误差测量值，i＝1，2，3Lm；m和n分 别为y_t和x_j的最大滞后期，取值范围分别为1、2、3或4，具体取值根据第4步赤池信息 准则判断；α₀，α_i，1，Lα_i，w，β_j，k，1，β_j，k，2Lβ_j，k，w为待求系数；w为x_j和y_t的最高次数， w取值为2；

对于式(1)，记：K_m，n＝[α₀]，

$A_m=[y_{t-1}^w,y_{t-1}^w,L,y_{t-1},L,y_{t-m}^w,y_{t-m}^w,L,y_{t-m}],$

$B_n=[x_{1,t}^w,x_{1,t}^{w-1},L,x_{1,t},L,x_{u,t-n}^w,x_{u,t-n}^{w-1},L,x_{u,t-n}],$

C_m＝[α_1，1，α_1，2，L，α_1，w，L，α_m，1，α_m，2，L，α_m，w]^T，

D_n＝[β_1，0，1，β_1，0，2，L，β_1，0，w，L，β_u，n，1，β_u，n，2，L，β_u，n，w]^T

则式(1)简代表达为如下式(2)：

y_t＝K_m，n+A_m×C_m+B_n×D_n              (2)

步骤2：通过最小二乘法算计待求系数K_m，n、C_m、D_n，以确定式(2)：

取数控机床热误差滞后期m和数控机床实测温度滞后期n分别为1、2、3和4，由式(2) 根据最小二乘法计算得出：K_1，1＝[-1.1562]，C₁＝[-1.6937，L，5.3559]，D₁＝[0.0209，L，0.3030]， L，D₄＝[0.0086，L，-1.0891]。

步骤3：求滞后期分别为m和n时y_t估计值y′_m，n，t：

将步骤2中得到的A_m、B_n、K_m，n、C_m、D_n代入公式y′_m，n，t＝K_m，n+A_m×C_m+B_n×D_n；计算数 控机床热误差估计值序列y′_m，n，l，y′_m，n，l-1，L y′_m，n，1，求出数控机床热误差y_t滞后期m和 数控机床实测温度x_j滞后期n取值分别为1，、2、3和4时数控机床热误差估计值序列：

S′_1，1＝[0.9607，L，9.7104]，L，S′_4，4＝[0.2400，L，9.6413]；

步骤4：通过确定最佳滞后阶数m和n建立最终模型：

由数控机床热误差实测序列y_l，y_l-1，Ly₁和由步骤3得到的数控机床热误差估计值序列 y′_m，n，l，y′_m，n，l-1，L y′_m，n，1计算残差平方和${\mathrm{RSS}}_{m,n}=\underset{i=1}{\overset{l}{\Sigma }}{(y_t-y_{m,n,t}^{\prime })}^2;$将残差平方和 RSS_m，n代入赤池信息量准则${\mathrm{AIC}}_{m,n}=2k+n\times \ln \left(\frac{{\mathrm{RSS}}_{m,n}}{n}\right)$计算出数控机床热误差y_t滞后期 m和机床温度x_j滞后期n取值分别为1、2、3和4时的赤池信息量AIC_1，1＝-1.7993，L， AIC_4，4＝-2.7316；通过赤池信息量判断最佳滞后阶数，当m和n取值为3时AIC_m，n取最 小值，所以可以确定本实例中数控机床热误差与数控机床各实测温度之间的高次自回归分布 滞后模型为：

y_t＝K_3，3+A₃×C₃+B₃×D₃

式中：

K_3，3＝[35.4036]，

$A_3=[y_{t-1}^2,y_{t-1,}{y}_{t-2}^2,y_{t-2,}{y}_{t-3}^2,y_{t-3,}],$

$B_3=[x_{1,t}^2,x_{1,t},x_{1,t-1}^2,x_{1,t-1},x_{1,t-2}^2,x_{1,t-2},x_{1,t-3}^2,x_{1,t-3},x_{2,t}^2,x_{2,t}{x}_{3,t-3}^2,x_{3,t-3}],$

C₃＝[0.0450，L，0.3533]^T，

D₃＝[-0.7287，L，-4.7592]^T。

该模型与其它算法拟合函数曲线如图1所示，图1中，1为试验测量获得的原始数据， 2为多元线性回归模型拟合曲线，3为多元二次回归模型拟合曲线，4为自回归分布滞后模 型拟合曲线，5为本发明二次自回归分布滞后模型拟合曲线。由图1可见自回归分布滞后模 型精度较高，二次自回归分布滞后模型数据几乎与原始数据重合，精度最高。各模型计算的 标准差如表2所示，其中，二次自回归分布滞后模型精度最高，比传统的ADL精度提高近 一倍，比多元线性回归模型精度提高一个数量级。

表2不同模型标准差比较