基于旋量理论的指数矩阵型机床空间误差建模及Morris全局变量敏感度分析方法

技术领域

本项发明提供一种机床空间误差建模及在误差模型基础上的全局变量敏感 度分析方法，属于机床精度设计领域。

背景技术

高精度数控机床常用于现代化生产，特别用于高效率及复杂曲面的零件之中， 而这也是加工制造和高性能装备制造的重要组成部分。机床几何误差是影响加工 精度的最重要部分，几乎占到所有误差的30％-40％，特别在精密及超精密的加 工情况下。又因为几何误差很少受外界环境的影响，从而建立几何误差模型并进 行分析对于提高加工精度有着很深的意义。

机床的几何误差最主要来源于其导轨的制造精度还有安装精度及本身的直线 度等误差。为了更好的提高数控机床的精度，误差模型的建立也是十分重要的， 稳健精确的误差模型也是误差纠正和补偿的第一步。国内外专家学者一直在建立 数控机床空间误差模型领域进行不懈的探索和研究，开展了多方面的工作。例如 三角关系建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模法、刚体运动学法 等。旋量理论的指数矩阵形式在机器人研究领域中已经应用的非常广泛了，这样 的形式可以清晰的将刚体的运动链结构表述出来。并根据零件的几何特性，指数 矩阵的更适合于描述部件的运动形式。将各个零件的运动及误差组成用模块化的 表述，用于计算刀尖点与零件成型点的差值，即空间误差。本专利根据旋量理论 的指数矩阵模型，将各个零件运动及误差模块化得到机床的空间误差模型。

机床中各项误差是相互耦合的，因此，如何确定某一项误差对于其他误差项 影响这对于精度设计是十分重要的。为了解决这样的问题，常用的方法便是对误 差项进行灵敏度的分析。灵敏度分析主要分为两类，一类是全局灵敏度，另一类 是局部灵敏度分析。全局灵敏度主要应用于模型中的元素对于其他元素乃至于整 个系统中的影响，常见的方法有蒙特卡洛分析方法，傅里叶幅度灵敏度检验法及 Morris筛选法。局部灵敏度分析，主要重视个体误差项的局部作用对输出量的影 响结果。本专利主要应用Morris的全局灵敏度分析方法，对于机床误差进行分 析，并甄别出影响系统较大的误差项。

本项发明提供一种机床空间误差建模及在误差模型基础上的全局变量敏感 度分析方法，建模方法主要依据旋量理论的指数矩阵形式，旋量理论的指数矩阵 形式可以用于机床空间误差的整合，依据机床的拓扑结构，建立起机床整体的空 间误差模型；对误差模型的高次项削减，得到误差模型的基本方程。对于方程中 的基本量，研究其在系统中对于其他误差两的影响程度大小是十分有必要的。 Morris法是一种用于全局灵敏度分析的关键项甄别方法，能在全局范围内研究模 型参数，即参数在一个相当大的范围内变化时对系统输出的影响程度，根据基本 元素，以较小的计算代价便得参数全局灵敏度的比较及参数相关性和非线性的定 性描述，即使对于辨别灵敏度很小的参数，也十分有效果。本项发明依据Morris 法并进行相应改进，对基本方程进行分析，应用全局误差变量敏感度分析方法， 对方程的基本元素进行分析。甄别出对于空间误差加工结果，及全局误差项影响 较大的误差项，并根据分析结果对机床提出合理的修改建议。

发明内容

此发明提供一种机床空间误差建模及在误差模型基础上的全局变量敏感度 分析方法，建模方法主要依据旋量理论的指数矩阵形式，旋量理论的指数矩阵形 式可以用于机床空间误差的整合，依据机床的拓扑结构，建立起机床整体的空间 误差模型；对误差模型的高次项削减，得到误差模型的基本方程。对于方程中的 基本量，研究其在系统中对于其他误差两的影响程度大小是十分有必要的。 Morris法是一种用于全局灵敏度分析的关键项甄别方法，能在全局范围内研究模 型参数，即参数在一个相当大的范围内变化时对系统输出的影响程度，根据基本 元素，以较小的计算代价便得参数全局灵敏度的比较及参数相关性和非线性的定 性描述，即使对于辨别灵敏度很小的参数，也十分有效果。

图1所示为本方法的具体实施步骤

本发明的实施步骤如下，

步骤一依据旋量理论建立机床的空间误差模型

根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6×1的向 量形式。将运动形式及误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓 扑结构建立起机床的空间误差模型。

步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式

任何刚体的运动都可以被分解为两部分：沿轴向的平移运动及绕轴的旋转运 动。即可将各个部件看成旋量。单位旋量在Plücker坐标便是成如下：

$＝[ω^Τ v^Τ]^Τ＝[ω₁，ω₂，ω₃，v₁，v₂，v₃]^T   (1)

定义可以表述一个刚体在空间上的任意运动形式，则有：

$\widehat{\$}=\left(\begin{array}{cc}\hat{\omega }& v\\ 0& 0\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，υ＝[v₁，v₂，v₃]^T,表示反对称矩阵，如果ω＝[ω₁，ω₂，ω₃]^T，则可表 示为：

$\hat{\omega }=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)---\left(3\right)$

刚体运动一般都包含平动及转动的，定义向量q在刚体坐标系及参考坐标系 是相同的。则刚体的其次变换矩阵为：

$T=\left(\begin{array}{cc}R& q\\ 0& 1\end{array}\right)---\left(4\right)$

旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为：当ω＝0时，刚体只 有平移运动，则其次变换矩阵可写为：

$T=e^{\widehat{\$}\theta }=\left(\begin{array}{cc}{I}_{3\times 3}& \mathrm{v\theta }\\ 0& 1\end{array}\right)---\left(5\right)$

当ω≠0时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的可被写成：

其中的三角级数展开式可以表示为：

$e^{\hat{\omega }\theta }=I+\frac{\hat{\omega }}{\left|\right|\omega \left|\right|}\sin \theta +\frac{{\hat{\omega }}^2}{{\left|\right|\omega \left|\right|}^2}(1-\cos \theta )---\left(7\right)$

综上，则有对于刚体在空间中的任意运动形式的指数矩阵可表示为：

当$为单位旋量，在||ω||≠0时，机械部位的旋转角可表示为 $\theta =\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2+{\omega }_3^2};$在||ω||＝0时，平移的距离可以表示为$\theta =\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.$点在不同坐标系中的表示方式不同，他们之间的差异可以用变换矩阵来表述其关 系。旋量也可以理解为坐标系中的一个点，在不同坐标系的表述方式也有所不同， 因此也需要变换矩阵的形式来表述旋量在不同坐标系的关系，可以称之为伴随矩 阵。刚体的运动旋量若为θ$，其变换形式的指数矩阵可以表述为：

$e^{\widehat{\$}\theta }=\left(\begin{array}{cc}R& q\\ 0& 1\end{array}\right)---\left(9\right)$

则其此坐标系下的伴随指数矩阵形式：

$\mathrm{Adj}\left(e^{\theta \widehat{\$}}\right)=\left(\begin{array}{cc}R& 0\\ \hat{q}& R\end{array}\right)---\left(10\right)$

伴随指数矩阵满足以下性质：

${\widehat{\$}}_1=\mathrm{Adj}\left(e^{\theta {\widehat{\$}}_1}\right){\$}_2=e^{\theta {\widehat{\$}}_I}{\widehat{\$}}_2{\left(e^{\theta {\widehat{\$}}_I}\right)}^{-1}---\left(11\right)$

$e^{{\widehat{\$}}_1}=e^{e^{e^{{\theta }_{{\widehat{\$}}_{I_{{\widehat{\$}}_{2{\left(e^{{\theta }_{{\widehat{\$}}_I}}\right)}^{-1}}}}}}}}=e^{\theta {\widehat{\$}}_1}{e}^{{\widehat{\$}}_2}{\left(e^{\theta {\widehat{\$}}_1}\right)}^{-1}---\left(12\right)$

对于机床这样的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：

$T=e^{{\overline{\$}}_1{\theta }_1}·e^{{\overline{\$}}_2{\theta }_2}...e^{{\overline{\$}}_n{\theta }_n}·T\left(0\right)---\left(13\right)$

T(0)表示其原始变换矩阵，可将其应用于机床的误差建模。

步骤1.2利用指数矩阵型对机床进行空间误差建模

机床的误差主要包括定位误差，线性误差，转角误差，平行度误差和垂直度 误差。例如δ_yx表示线性误差，即X向运动时在Y轴产生的偏离分量误差；下标 中第一项表示误差产生的方向，第二项表示运动的方向。同理角度误差ε_ij，下标 i表示转角的旋转方向，j表示运动方向。可利用这些误差项来建立起旋量的指数 矩阵，并以此来建立机床的误差模型，如图2所示。

以X向运动为例，$_x表示X向运动的单位旋量，x表示X轴延该方向运动 的距离。同理，$_y和$_z分别表示为Y向和Z向运动的单位旋量；y和z也分别 表示为Y轴与Z轴延该方向上移动的距离；.$_A和$_C分别表示绕A轴及C轴旋 转下的单位旋量，符号A和C表示旋转的角度。其理想状态下的指数矩阵可根 据指数模型的变换得到，如下：

由于在制造或是安装的过程中，各个轴向都会产生误差。一般的，每个轴向 的运动都会有6个方向自由度，同时会产生3个平动的误差及3个转动的误差。 因此定义了误差模块m_e$_e：

m_e$_e＝[ε_x,ε_y,ε_z,δ_x,δ_y,δ_z]^T

以X向的误差组成为例，主要分为三部分。第一部分$_xx包含定位误差及延 该方向的滚摆误差δ_xx，ε_xx；第二部分$_yx是水平面的线性误差及颠摆误差δ_yx， ε_yx；第三部分$_zx是垂直面的线性误差及偏摆误差δ_zx，ε_zx。

$_xx＝[ε_xx,0,0,δ_xx,0,0]^T   (15)

$_yx＝[0,ε_yx,0,0,δ_yx,0]^T   (16)

$_zx＝[0,0,ε_zx,0,0,δ_zx]^T   (17)

X轴的空间误差可表示为：

$e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xe}}}=e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zx}}}---\left(18\right)$

X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：

$T^x=e^{x{\widehat{\$}}_x}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xe}}}=e^{x{\widehat{\$}}_x}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zx}}}---\left(19\right)$

同理可以得到其他轴的空间误差模块及指数矩阵的误差模型。

步骤1.3关于垂直度和平行度误差的指数矩阵形式

由于实际的轴与理想状态下的轴是有所差异的，相邻的两个轴不是绝对的 90°；也就是说存在着垂直度误差。对于三个平动轴来说，定义Y轴为理想轴， 不存在垂直度误差；则X轴与Y轴之间的垂直度误差为S_xy，Y轴与Z轴之间的 垂直度误差为S_yz，X与Z之间的垂直度为S_xz。在Y轴和实际安装的X轴向所 组成的平面内，对于X轴仅存在S_xy，同理在实际Z轴存在其他两项垂直度误差。 如图3所示，由于实际轴线方向不可避免的要偏离理想轴的位置，故考虑应在坐 标变换中加入垂直度误差，对于理想坐标轴的变换形式：

以X向为例，理想状态下的X向单位旋量可表示为：

$_xi＝[0,0,0,1,0,0]^T   (20) 加入现实状态下的垂直度误差，则X向实际的单位旋量可表示为：

$_xs＝[0,0,0,cos(S_xy),-sin(S_xy),0]^T   (21) 对应的指数矩阵可表示为：

$e^{x{\widehat{\$}}_{\mathrm{xs}}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\cos \left(S_{\mathrm{xy}}\right)\\ 0& 1& 0& -x\sin \left(S_{\mathrm{xy}}\right)\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(22\right)$

另一种写法，是将理想的X轴利用伴随矩阵的形式以Z为轴($_zr)旋转一 定角度来达到X轴与Y轴呈90°的效果，即：

${\$}_{\mathrm{xs}}=\mathrm{Adj}\left(e^{-S_{\mathrm{xy}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}\right)·{\$}_{\mathrm{xi}}---\left(23\right)$

$_zr＝[0,0,1,0,0,0]^T

同理可以得到Z轴的垂直度误差旋量表述形式。

对于A轴及C轴的转动，在安装时就会产生X向及Z向的偏离，即实际的 A轴与X轴的平行度在Y向上的分量PY_xA，A轴与X轴的平行度在Z向上的分 量PZ_xA；同理会得到C轴与Z轴在平行度上的两个误差项。如图4所示(这里 的X、Y、Z轴都为理想轴线)

以A轴为例，理想状态下A轴运动的轴线单位旋量可写为：

$_Ai＝[1,0,0,0,0,0]^T   (24) 加入现实状态下的沿Y向及Z向的平行度误差分量，则A向实际的单位旋量可 表示为：

$_As＝[cos(PY_xA)cos(PZ_xA),-sin(PY_xA)cos(PZ_xA),-sin(PZ_xA),0,0,0]^T   (25)

$e^{A{\widehat{\$}}_{\mathrm{As}}}=\left(\begin{array}{cccc}1& A\sin \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& -A\sin \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 0\\ -A\sin \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 1& -A\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 0\\ A\sin \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& A\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(26\right)$

与上述矩阵变换方式类似，将理想的X轴分别延Y轴和Z轴旋转一定角度， 来表达出现实状态下，A轴的实际位置：

${\$}_{\mathrm{As}1}=\mathrm{Adj}\left(e^{{\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}\right){\$}_{\mathrm{xi}};{\$}_{\mathrm{As}}=\mathrm{Adj}\left(e^{{\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}}\right){\$}_{\mathrm{Asl}}---\left(27\right)$

同理可以得到C轴的平行度误差的指数矩阵表述形式。

步骤1.4基于拓扑结构下的误差模型建立

多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样 可以进行应用。理想状态下，机床是不存在误差的。理想状态下的矩阵变换方程 可以用T_i表示：

$T_i=e^{-a{{\widehat{\$}}_a}_i}·e^{-b{{\widehat{\$}}_b}_i}·e^{-c{{\widehat{\$}}_c}_i}·e^{d{{\widehat{\$}}_d}_i}·e^{e{{\widehat{\$}}_e}_i}---\left(28\right)$

实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，可将整体部件误差旋量加入到旋量模块中。用T_a表示：

$T_a=e^{-a{\widehat{\$}}_{\mathrm{as}}}·e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{ae}}}·e^{-b{\widehat{\$}}_{\mathrm{bs}}}·e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{be}}}·e^{-c{\widehat{\$}}_{\mathrm{ce}}}·e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{ce}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{de}}}·e^{d{\widehat{\$}}_{\mathrm{ds}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{ee}}}·e^{e{\widehat{\$}}_{\mathrm{es}}}---\left(29\right)$

根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，可得到多轴数控机床的空间误差模 型：

E＝T_i^-1·T_a   (30)

对应空间误差在三个轴向上的分量E_x，E_y，E_z可表示为：

[E_x,E_y,E_z,1]^T＝E·[0,0,0,1]^T   (31)

略去式中二阶及二阶以上的高次项，便得到空间误差的基本方程。

步骤二基于Morris法对空间误差进行全局灵敏度分析

在Morris法中，若衡量参数灵敏性的“基本因素(EE)”服从某种分布F_i， 测得F_i的均值μ及标准差σ，即可确定参数的全局灵敏度。如果第i个参数所 对应的均值越大，对系统输出的影响则越大。标准差σ表示参数之间相互作用的 程度，如果标准差小，表示与其他参数相互作用的程度小；反之，互相作用的参 数很大啊。然而由于Morris法的随机性，很容易在某次随机采样及随机化过程 中出现误差，所以需要重复多次，取平均值才是参数的灵敏度。实施流程如图5 所示。

定义系统模型为根据Morris法的设计准则，先将每个 参量归一化处理，即将其变化量映射在[0,1]的区间范围内，并将其离散化，使得 每个参数只能从中取值，其中p为参数取样点的个数。每个参 数都在p个取样点上随机取值，获得向量Z表示：

Z＝[z₁,z₂,...,z_m]   (32) 其中，m为参数的个数。

对Z的第i个参数z_i施加Δ的变化量，则参数z_i的“基本因素(EE)”可以表 示为：

这里的Δ是预先设定的变化量

故，利用Morris法分析全局敏感度的步骤：

第一步：若矩阵S^*是m维的对角阵，每个对角元素只能等概率的随机取值为+1 或者-1。矩阵D是一个元素为1的严格下三角阵，D∈R^(m+1)×m

定义A_l,_m为是(l×m)维的单位矩阵，且满足l＝m+1，那么矩阵 A^*＝(2D-A_i,m)S^*+A_i,m也是(l×m)维矩阵，并且矩阵A^*中每一列元素与D相对 应的元素相等，或把0替换成1，或把1替换为0；

第二步：定义θ^*为输入参数θ的“基值”向量，θ^*的每一个参数都是随机从 中取值的；

第三步：定义W^*是(m×m)维随机置换矩阵，矩阵的每列每行都只有一个值为1， 其余都为0。这样，采样矩阵D的随机化矩阵D^*为：

D^*＝[A_m+1,1θ^*+(Δ/2)A^*]W^*   (34)

由于矩阵S^*、θ^*和W^*的随机取值都是彼此独立的，继而保证矩阵D^*也是 随机取值的，而且矩阵D^*每隔两行只有一个不同的值参数。定义D^*中相邻两行 只有第j列元素不同，即：

$D\left(j\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{\theta }_1& ...& {\theta }_{j1}& ...& {\theta }_m\\ {\theta }_1& ...& {\theta }_{j2}& ...& {\theta }_m\end{array}\right)---\left(35\right)$

其中θ_j1-θ_j2＝Δ，因此，选择D(j)作为系统的输入参数向量，则第j个参 数的“基本因素(EE)”可以用下式来计算：

取所有m组相邻行元素作为模型的输入参数，可以得到所有m个参数的“基 本因素(EE)”，尤其是在复杂的空间误差项上，计算十分有效，可以节省时间， 提高效率。

第四步：根据采样次数n，重按步骤第一步至第三步做n次，每个参数可获得n 个“基本因素(EE)”值；

第五步：根据采样参数θ,计算“基本因素(EE)”的平均值和标准差。

${\mu }_i=\frac{{\Sigma }_{j=1}^n{\mathrm{EE}}_j}{n}$

${\sigma }_i=\sqrt{\frac{1}{n}\underset{j=1}{\overset{n}{\Sigma }}({\mathrm{EE}}_j-{\mu }_i)}$

第六步：判断参量θ的全局灵敏度。

本发明依据Morris法并进行相应改进，对基本方程进行分析，应用全局误差 变量敏感度分析方法，对方程的基本元素进行分析。甄别出对于空间误差加工结 果，及全局误差项影响较大的误差项，并根据分析结果对机床提出合理的修改建 议。

附图说明

图1.基于旋量理论的指数矩阵型机床空间误差建模及Morris全局变量敏感度分

析方法的实施流程图；

图2.机床的空间误差项分类示意图；

图3.机床的垂直度误差分解示意图；

图4.机床的平行度误差分解示意图；

图5.Morris法的实施流程图；

图6.五轴数控加工机床示意图；

图7.五轴数控加工机床的拓扑结构示意图；

图8.X-Y平面空间误差分布示意图；

图9.X-Z平面空间误差分布示意图；

图10.Y-Z平面空间误差分布示意图；

图11.X方向基于Morris全局灵敏度分析关键误差分析示意图；

图12.Y方向基于Morris全局灵敏度分析关键误差分析示意图；

图13.Z方向基于Morris全局灵敏度分析关键误差分析示意图；

具体实施方式

以五轴联动数控加工机床为例(图6)

步骤一依据旋量理论建立机床的空间误差模型

根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6×1的向 量形式。将运动形式及误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓 扑结构(图7)建立起机床的空间误差模型。

步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式

任何刚体的运动都可以被分解为两部分：沿轴向的平移运动及绕轴的旋转运 动。即可将各个部件看成旋量。单位旋量在Plücker坐标便是成如下：

$＝[ω^Τ v^Τ]^Τ＝[ω₁，ω₂，ω₃，v₁，v₂，v₃]^T   (37)

定义可以表述一个刚体在空间上的任意运动形式，则有：

$\widehat{\$}=\left(\begin{array}{cc}\hat{\omega }& v\\ 0& 0\end{array}\right)---\left(38\right)$

其中，υ＝[v₁，v₂，v₃]^T,表示反对称矩阵，如果ω＝[ω₁，ω₂，ω₃]^T，则可表 示为：

$\hat{\omega }=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)---\left(39\right)$

刚体运动一般都包含平动及转动的，定义向量q在刚体坐标系及参考坐标系 是相同的。则刚体的其次变换矩阵为：

$T=\left(\begin{array}{cc}R& q\\ 0& 1\end{array}\right)---\left(40\right)$

旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为：当ω＝0时，刚体只 有平移运动，则其次变换矩阵可写为：

$T=e^{\widehat{\$}\theta }=\left(\begin{array}{cc}{I}_{3\times 3}& \mathrm{v\theta }\\ 0& 1\end{array}\right)---\left(41\right)$

当ω≠0时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的可被写成：

其中的三角级数展开式可以表示为：

$e^{\hat{\omega }\theta }=I+\frac{\hat{\omega }}{\left|\right|\omega \left|\right|}\sin \theta +\frac{{\hat{\omega }}^2}{{\left|\right|\omega \left|\right|}^2}(1-\cos \theta )---\left(43\right)$

综上，则有对于刚体在空间中的任意运动形式的指数矩阵可表示为：

当$为单位旋量，在||ω||≠0时，机械部位的旋转角可表示为 $\theta =\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2+{\omega }_3^2};$在||ω||＝0时，平移的距离可以表示为$\theta =\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.$点在不同坐标系中的表示方式不同，他们之间的差异可以用变换矩阵来表述其关 系。旋量也可以理解为坐标系中的一个点，在不同坐标系的表述方式也有所不同， 因此也需要变换矩阵的形式来表述旋量在不同坐标系的关系，可以称之为伴随矩 阵。刚体的运动旋量若为θ$，其变换形式的指数矩阵可以表述为：

$e^{\widehat{\$}\theta }=\left(\begin{array}{cc}R& q\\ 0& 1\end{array}\right)---\left(45\right)$

则其此坐标系下的伴随指数矩阵形式：

$\mathrm{Adj}\left(e^{\theta \widehat{\$}}\right)=\left(\begin{array}{cc}R& 0\\ \hat{q}& R\end{array}\right)---\left(46\right)$

伴随指数矩阵满足以下性质：

${\widehat{\$}}_1=\mathrm{Adj}\left(e^{\theta {\widehat{\$}}_1}\right){\$}_2=e^{\theta {\widehat{\$}}_I}{\widehat{\$}}_2{\left(e^{\theta {\widehat{\$}}_I}\right)}^{-1}---\left(47\right)$

$e^{{\widehat{\$}}_1}=e^{e^{e^{{\theta }_{{\widehat{\$}}_{I_{{\widehat{\$}}_{2{\left(e^{{\theta }_{{\widehat{\$}}_I}}\right)}^{-1}}}}}}}}=e^{\theta {\widehat{\$}}_1}{e}^{{\widehat{\$}}_2}{\left(e^{\theta {\widehat{\$}}_1}\right)}^{-1}---\left(48\right)$

对于机床这样的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：

$T=e^{{\overline{\$}}_1{\theta }_1}·e^{{\overline{\$}}_2{\theta }_2}...e^{{\overline{\$}}_n{\theta }_n}·T\left(0\right)---\left(49\right)$

T(0)表示其原始变换矩阵，可将其应用于机床的误差建模。

步骤1.2利用指数矩阵型对机床进行空间误差建模

机床的误差主要包括定位误差，线性误差，转角误差，平行度误差和垂直度 误差，表1为五轴数控加工中心的37项误差。例如δ_yx表示线性误差，即X向 运动时在Y轴产生的偏离分量误差；下标中第一项表示误差产生的方向，第二 项表示运动的方向。同理角度误差ε_ij，下标i表示转角的旋转方向，j表示运动 方向。可利用这些误差项来建立起旋量的指数矩阵，并以此来建立机床的误差模 型。其中，δ代表线性误差；ε表示角度误差。

表1 五轴联动数控机床37项几何误差

以X向运动为例，$_x表示X向运动的单位旋量，x表示X轴延该方向运动 的距离。同理，$_y和$_z分别表示为Y向和Z向运动的单位旋量；y和z也分别 表示为Y轴与Z轴延该方向上移动的距离；.$_A和$_C分别表示绕A轴及C轴旋 转下的单位旋量，符号A和C表示旋转的角度。其理想状态下的指数矩阵可根 据指数模型的变换得到，如下：

由于在制造或是安装的过程中，各个轴向都会产生误差。一般的，每个轴向 的运动都会有6个方向自由度，同时会产生3个平动的误差及3个转动的误差。 因此定义了误差模块m_e$_e：

m_e$_e＝[ε_x,ε_y,ε_z,δ_x,δ_y,δ_z]^T

以X向的误差组成为例，主要分为三部分。第一部分$_xx包含定位误差及延 该方向的滚摆误差δ_xx，ε_xx；第二部分$_yx是水平面的线性误差及颠摆误差δ_yx， ε_yx；第三部分$_zx是垂直面的线性误差及偏摆误差δ_zx，ε_zx。

$_xx＝[ε_xx,0,0,δ_xx,0,0]^T   (51)

$_yx＝[0,ε_yx,0,0,δ_yx,0]^T   (52)

$_zx＝[0,0,ε_zx,0,0,δ_zx]^T   (53)

X轴的空间误差可表示为：

$e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xe}}}=e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zx}}}---\left(54\right)$

X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：

$T^x=e^{x{\widehat{\$}}_x}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xe}}}=e^{x{\widehat{\$}}_x}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yx}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zx}}}---\left(55\right)$

同理，Y轴及Z轴的误差模型的指数矩阵形式可表示如下：

$_xy＝[ε_xy,0,0,δ_xy,0,0]^T

$_yy＝[0,ε_yy,0,0,δ_yy,0]^T   (56)

$_zy＝[0,0,ε_zy,0,0,δ_zy]^T

$e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{ye}}}=e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xy}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yy}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zy}}}---\left(57\right)$

$T^y=e^{{y\widehat{\$}}_y}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{ye}}}=e^{{y\widehat{\$}}_y}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xy}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yy}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zy}}}---\left(58\right)$

$_xz＝[ε_xz,0,0,δ_xz,0,0]^T

$_yz＝[0,ε_yz,0,0,δ_yz,0]^T   (59)

$_zz＝[0,0,ε_zz,0,0,δ_zz]^T

$e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{ze}}}=e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xz}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yz}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zz}}}---\left(60\right)$

$T^z=e^{{z\widehat{\$}}_z}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{ze}}}=e^{{z\widehat{\$}}_z}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xz}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yz}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zz}}}---\left(61\right)$

A轴及C轴的误差模型指数矩阵形式：

$_xA＝[ε_xA,0,0,δ_xA,0,0]^T

$_yA＝[0,ε_yA,0,0,δ_yA,0]^T   (62)

$_zA＝[0,0,ε_zA,0,0,δ_zA]^T

$e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ae}}}=e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xA}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yA}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zA}}}---\left(63\right)$

$T^A=e^{{A\widehat{\$}}_A}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ae}}}=e^{A{\widehat{\$}}_A}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xA}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yA}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zA}}}---\left(64\right)$

$_xC＝[ε_xC,0,0,δ_xC,0,0]^T

$_yC＝[0,ε_yC,0,0,δ_yC,0]^T   (65)

$_zC＝[0,0,ε_zC,0,0,δ_zC]^T

$e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ce}}}=e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xC}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yC}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zC}}}---\left(66\right)$

$T^C=e^{{C\widehat{\$}}_C}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ce}}}=e^{C{\widehat{\$}}_C}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{xC}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{yC}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{zC}}}---\left(67\right)$

步骤1.3关于垂直度和平行度误差的指数矩阵形式

由于实际的轴与理想状态下的轴是有所差异的，相邻的两个轴不是绝对的 90°；也就是说存在着垂直度误差。对于三个平动轴来说，定义Y轴为理想轴， 不存在垂直度误差；则X轴与Y轴之间的垂直度误差为S_xy，Y轴与Z轴之间的 垂直度误差为S_yz，X与Z之间的垂直度为S_xz。在Y轴和实际安装的X轴向所 组成的平面内，对于X轴仅存在S_xy，同理在实际Z轴存在其他两项垂直度误差。

以X向为例，理想状态下的X向单位旋量可表示为：

$_xi＝[0,0,0,1,0,0]^T   (68) 加入现实状态下的垂直度误差，则X向实际的单位旋量可表示为：

$_xs＝[0,0,0,cos(S_xy),-sin(S_xy),0]^T   (69) 对应的指数矩阵可表示为：

$e^{x{\widehat{\$}}_{\mathrm{xs}}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& x\cos \left(S_{\mathrm{xy}}\right)\\ 0& 1& 0& -x\sin \left(S_{\mathrm{xy}}\right)\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(70\right)$

另一种写法，是将理想的X轴利用伴随矩阵的形式以Z为轴($_zr)旋转一 定角度来达到X轴与Y轴呈90°的效果，即：

${\$}_{\mathrm{xs}}=\mathrm{Adj}\left(e^{-S_{\mathrm{xy}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}\right)·{\$}_{\mathrm{xi}}---\left(71\right)$

$_zr＝[0,0,1,0,0,0]^T

下标中的第二项“r”表示以第一项为轴进行旋转；

相似的，Z向单位旋量可表示为：

$_zi＝[0,0,0,0,0,1]^T

加入现实状态下的垂直度误差，则Z向实际的单位旋量可表示为：

$_zs＝[0,0,0,-sin(S_xz),-sin(S_yz)cos(S_xz),cos(S_yz)cos(S_xz)]^T   (72)

$e^{{z\widehat{\$}}_{\mathrm{zs}}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -z\sin \left(S_{\mathrm{xz}}\right)\\ 0& 1& 0& -z\cos \left(S_{\mathrm{xz}}\right)\sin \left(S_{\mathrm{yz}}\right)\\ 0& 0& 1& z\cos \left(S_{\mathrm{xz}}\right)\cos \left(S_{\mathrm{yz}}\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

另一种写法则与上述矩阵变换方式类似，将理想的Z轴分别延X轴和Y轴 旋转一定角度，来表达出现实状态下，Z轴的实际位置：

${\$}_{\mathrm{zs}1}=\mathrm{Adj}\left(e^{{-S}_{\mathrm{xz}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}}\right){\$}_{\mathrm{zi}};{\$}_{\mathrm{zs}}=\mathrm{Adj}\left(e^{S_{\mathrm{yz}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}}\right){\$}_{\mathrm{zsl}}---\left(73\right)$

对于A轴及C轴的转动，在安装时就会产生X向及Z向的偏离，即实际的 A轴与X轴的平行度在Y向上的分量PY_xA，A轴与X轴的平行度在Z向上的分 量PZ_xA；同理会得到C轴与Z轴在平行度上的两个误差项。

以A轴为例，理想状态下A轴运动的轴线单位旋量可写为：

$_Ai＝[1,0,0,0,0,0]^T   (74) 加入现实状态下的沿Y向及Z向的平行度误差分量，则A向实际的单位旋量可 表示为：

$_As＝[cos(PY_xA)cos(PZ_xA),-sin(PY_xA)cos(PZ_xA),-sin(PZ_xA),0,0,0]^T   (75)

$e^{A{\widehat{\$}}_{\mathrm{As}}}=\left(\begin{array}{cccc}1& A\sin \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& -A\sin \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 0\\ -A\sin \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 1& -A\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 0\\ A\sin \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& A\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}\right)\cos \left({\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(76\right)$

与上述矩阵变换方式类似，将理想的X轴分别延Y轴和Z轴旋转一定角度， 来表达出现实状态下，A轴的实际位置：

${\$}_{\mathrm{As}1}=\mathrm{Adj}\left(e^{{\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}\right){\$}_{\mathrm{xi}};{\$}_{\mathrm{As}}=\mathrm{Adj}\left(e^{{\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}}\right){\$}_{\mathrm{Asl}}---\left(77\right)$

理想状态下C轴运动的轴线单位旋量可写为：

$_Ci＝[0,0,1,0,0,0]^T

加入现实状态下的沿X向及Y向的平行度误差分量，则A向实际的单位旋量可 表示为：

$_Cs＝[-sin(PY_zC),-sin(PX_zC)cos(PY_zC),cos(PX_zC)cos(PY_zC),0,0,0]^T   (78)

$e^{C{\widehat{\$}}_{\mathrm{Cs}}}=\left(\begin{array}{cccc}1& -C\cos \left({\mathrm{PX}}_{\mathrm{zC}}\right)\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}\right)& -C\sin \left({\mathrm{PX}}_{\mathrm{zC}}\right)\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}\right)& 0\\ C\cos \left({\mathrm{PX}}_{\mathrm{zC}}\right)\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}\right)& 1& C\sin \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}\right)& 0\\ C\sin \left({\mathrm{PX}}_{\mathrm{zC}}\right)\cos \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}\right)& -C\sin \left({\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}\right)& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

与上述矩阵变换方式类似，将理想的Z轴分别延X轴和Y轴旋转一定角度，来 表达出现实状态下，A轴的实际位置：

${\$}_{\mathrm{Cs}1}=\mathrm{Adj}\left(e^{-{\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}}\right){\$}_{\mathrm{Zi}};{\$}_{\mathrm{Cs}}=\mathrm{Adj}\left(e^{{\mathrm{PX}}_{\mathrm{zC}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{xr}}}\right){\$}_{\mathrm{Csl}}---\left(79\right)$

步骤1.4基于拓扑结构下的误差模型建立

多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样 可以进行应用。理想状态下，机床是不存在误差的；也因此，模型的顺序可以被 表示为：C_i→X_i→Y_i→Z_i→A_i。理想状态下的矩阵变换方程可以用T_i表示：

$T_i=e^{-c{{\widehat{\$}}_C}_i}·e^{-x{{\widehat{\$}}_X}_i}·e^{-y{{\widehat{\$}}_Y}_i}·e^{z{{\widehat{\$}}_Z}_i}·e^{a{{\widehat{\$}}_A}_i}---\left(80\right)$

整体机床的误差指数矩阵模型可写为：

$\left(\begin{array}{c}{T}_a=e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ce}}}·e^{-c{\widehat{\$}}_{\mathrm{cs}}}·e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{Xe}}}·e^{x{\widehat{\$}}_{\mathrm{Xs}}}·e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ye}}}·e^{-y{\widehat{\$}}_{\mathrm{Yi}}}·e^{{\widehat{\$}}_f}·\\ e^{z{\widehat{\$}}_{\mathrm{Zs}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ze}}}·e^{A{\widehat{\$}}_{\mathrm{As}}}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ae}}}\\ =e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ce}}}·(e^{{-\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}}·e^{{\mathrm{PX}}_{\mathrm{zC}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{xr}}})·e^{\gamma {\widehat{\$}}_{C_i}}{(e^{-{\mathrm{PY}}_{\mathrm{zC}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}}·e^{{\mathrm{PX}}_{\mathrm{zC}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{xr}}})}^{-1}·e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{Xe}}}·\left(e^{-S_{\mathrm{xy}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}\right)·e^{-x{\widehat{\$}}_{\mathrm{xi}}}·{\left(e^{-S_{\mathrm{xy}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}\right)}^{-1}·e^{-{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ye}}}·\\ e^{-y{\widehat{\$}}_{\mathrm{Yi}}}·e^{{\widehat{\$}}_b}·(e^{-S_{\mathrm{yz}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{xr}}}·e^{-S_{\mathrm{xz}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}})·e^{z{\widehat{\$}}_{\mathrm{Zi}}}·{(e^{-S_{\mathrm{yz}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{xr}}}·e^{-S_{\mathrm{xz}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}})}^{-1}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ze}}}·(e^{{\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}·e^{{\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}})·e^{a{{\widehat{\$}}_A}_i}·\\ {(e^{{\mathrm{PY}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{zr}}}·e^{{\mathrm{PZ}}_{\mathrm{xA}}{\widehat{\$}}_{\mathrm{yr}}})}^{-1}·e^{{\widehat{\$}}_{\mathrm{Ae}}}\end{array}\right)$

其中，表示地基的旋量；

基于旋量的指数矩阵所表示的五轴机床空间误差模型可表示为：

E＝T_i^-1·T_a   (82)

对应空间误差在三个轴向上的分量E_x，E_y，E_z可表示为：

[E_x,E_y,E_z,1]^T＝E·[0,0,0,1]^T   (83)

对于大型五轴数控加工机床，刀具及工件的安装误差由于很小在此被忽略 了。所以机床的空间误差在三个轴向上的分量可以写为：

E_x＝γPY_zC+δ_xA-δ_xx-δ_xy+δ_zxε_yxε_xy-δ_yyε_yxε_xy-γPX_zC+xS_xyε_yy

-δ_yyε_xAε_zx+αPY_xAε_xA+(z+δ_zz+δ_zA+δ_yzε_xC)(ε_yx+ε_yy-ε_xyε_zx)

(γ+δ_zC+δ_xCε_yA)(ε_zC+ε_zz-ε_xyε_zx)+ε_zx(ε_xyε_yy-ε_zyε_zA)-ε_yx(ε_yy+ε_xyε_zy)

-y(ε_zx+ε_zC+ε_yz(1-ε_yxε_yy)+ε_xy(ε_yxε_yC+ε_yyε_zxε_zy))

+(-zS_yz+δ_yz-δ_zzε_xz)(ε_zx+ε_zy(ε_zA-ε_yxε_yy)+ε_xy(ε_yx+ε_yyε_zxε_zy))

E_y＝-δ_yx-δ_zxε_xx+α(ε_yA+PY_xA)-γ(ε_xA+ε_xCε_yCε_zC)+ε_xx(-δ_zy+δ_yyε_xy)+

(δ_xy-δ_zyε_yA)(ε_xxε_xC-ε_yA)+x(-ε_xxε_yA+ε_zx)+xS_xy(1-ε_xxε_yyε_zx)

-(δ_yy+δ_zyε_xy)(1+ε_xxε_yyε_zx)+(z+δ_zz+δ_yzε_xz)(ε_xy+ε_yyε_xA+ε_xx(1+ε_yx(-ε_yy+ε_xyε_zx)))

+(-zS_xz+δ_xz+δ_zzε_zy+δ_zAε_yy)(ε_xxε_yx-ε_zx+(1+ε_xxε_yxε_zx)(ε_xyε_yy-ε_zy)

+ε_xx(ε_yy+ε_xyε_zC))-y(ε_zy(ε_xxε_yx-ε_zx)+ε_xx(-ε_xy+ε_yyε_zA)+(1+ε_xxε_yCε_zy)(1+ε_xyε_xCε_zx))

+(-zS_yz+δ_yz-δ_zzε_xz)((ε_xAε_yA-ε_zA)ε_zy+ε_xx(-ε_xy+ε_yyε_zy)+(1+ε_xxε_yxε_zx)(1+ε_xyε_yyε_zy))

E_z＝δ_zz-δ_zx-δ_zy+δ_yxε_xx+α(ε_zC+ε_xCε_yCε_xz)-x(ε_yx+ε_xxε_zx)+(-δ_xy+δ_zyε_xA)(ε_yx+ε_xxε_zA)

+xS_xy(-ε_xx+ε_yxε_zA)+(z+δ_zz+δ_yzε_xz)(1+ε_yC(ε_yy+ε_xyε_zx)-ε_xx(ε_xy+ε_xAε_yy))

+(-zS_xz+γPZ_xA(δ_xz+δ_zCε_yz))(ε_yx+ε_yy+ε_xxε_zx+(-ε_xx+ε_xyε_zx)(ε_xyε_yy-ε_zy)+ε_xyε_zC)

-y(-ε_xy+ε_yyε_zy+ε_xC(ε_yA+ε_xxε_zx)+(-ε_xx+ε_yxε_zx)(1+ε_xyε_yyε_zy))

+(-zS_yz+δ_yz-δ_zCε_xz)(-ε_xy+ε_yyε_zy+ε_zC(ε_yA+ε_xxε_zx)+(-ε_xx+ε_yxε_zx)(1+ε_xyε_yyε_zy))

将其中的高阶项略去后，得到空间误差方程：

E_x＝δ_xA-δ_xx-δ_xy+γPY_zC+γε_zC+γε_zz-zS_xz-zε_yx-zε_yy-yε_zC-yε_zx

E_y＝δ_yz-δ_yx-δ_yy+α(ε_yA+PY_xA)-γε_xA+xS_xy-zS_yz+zε_xx+zε_xy+xε_zx   (84)

E_z＝δ_zz-δ_zx-δ_zy+αε_zC-xε_yx+yε_xx+yε_xy

该误差模型下，对应机床在三个平面下即X-Y，Y-Z，X-Z的误差分布如图8-图 10所示。

步骤二基于Morris法对空间误差进行全局灵敏度分析

由旋量的指数形式得到的空间误差在三个轴向上的分量如下：

E_x＝f(δ_xA,δ_xx,δ_xy,PY_zC,ε_zC,ε_zz,S_xz,ε_yx,ε_yy,ε_zx)   (85)

E_y＝g(δ_yz,δ_yx,δ_yy,ε_yA,PY_xA,ε_xA,S_xy,S_yz,ε_xx,ε_xy,ε_zx)   (86)

可以看到主要影响空间误差是这些量；一共包括25个参量。分别是X项主 要影响参数有10项，Y项主要影响参数有11项，Z项主要影响参数有7项；其 中重叠项3项。利用九线法对误差量进行测量，并以空间误差在X项分量为例； 若测得每个误差L_i的真实值为C(i＝1,2,3,…,11)。并将其进行归一化处理，即：

$z_i=\frac{\left|C_i\right|}{\underset{1}{\overset{10}{\Sigma }}{\left|C\right|}_i}---\left(88\right)$

每项误差L_i所属区间即在[0,1]之间，程均匀分布的状态，为了缩小变化处理 区间，将p取为偶数项，其变化量则有对于Morrirs法中的第二步 和第三步进行调整则有：

第二步：定义L^*为输入参数L的“基值”向量，L^*的每一个参数都是随机从 中取值的；

第三步：定义W^*是(m×m)维随机置换矩阵，矩阵的每列每行都只有一个值为1， 其余都为0。这样，采样矩阵D的随机化矩阵D^*为：

D^*＝[A_m+1,1L^*+(Δ/2)A^*]W^*

矩阵D^*每隔两行只有一个不同的值参数。定义D^*中相邻两行只有第j列元素不 同，即：

$D\left(j\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{L}_1& ...& L_{j1}& ...& L_{10}\\ L_1& ...& L_{j2}& ...& L_{10}\end{array}\right)$

其中L_j1-L_j2＝Δ，因此，选择D(j)作为系统的输入参数向量，则第j个参 数的“基本因素(EE)”可以用下式来计算：

${\mathrm{EE}}_j=\frac{\sqrt{\Sigma {[f_{\mathrm{axis}}(L_1,...,L_{j1},...,L_{10})-f_{\mathrm{axis}}(L_1,...,L_{j2},...,L_{10})]}^2}}{\Delta }$

其中f_axis(·)表示为在X轴线上某一点时，输出的空间误差在X轴线上的分 量；执行第四至第六步，完成对于X轴线上的全局灵敏度的测量。设定参数 p＝16，采集次数500次。可由Morris法得到X向全局灵敏度结果如图11-图13 所示。(角度ε_l＝x·cos(ε_i)单位转换为μm)

由图中可以看出，空间误差在X轴上的分量，根据均值μ的大小，对于E_x的 相对重要影响的参量灵敏度顺序分别是：δ_xx＞δ_xy＞ε_zC＞ε_zx＞ε_yy＞δ_xA＞ε_yx＞PY_zC＞ε_zz＞S_xz， 这些对于输出的误差分量有着顺序的影响；另外从标准差σ的角度来看，互相影 响相对较大的三个参量为：ε_zC,δ_xx,ε_yy，故重点应控制这三个误差量范围。

同理，空间误差在Y轴上的分量，根据均值_μ的大小，对于E_Y的相对重要 影响的参量灵敏度顺序分别是：δ_yz＞δ_yy＞ε_xA＞δ_yx＞ε_zx＞PY_xA＞ε_yA＞ε_xx＞ε_xy＞S_yz＞S_xy，这些 对于输出的误差分量有着顺序的影响；从标准差σ的角度来看，互相影响相对较 大的三个参量为：δ_yy,δ_yx,δ_yz，三项直线度误差应重点控制，即需要使用精度更 高的导轨来减小空间误差在Y轴上的分量。

空间误差在Z轴上的分量，根据均值μ的大小，对于E_Z的相对重要影响的 参量灵敏度顺序分别是：δ_zz＞δ_zy＞δ_zx＞ε_zC＞ε_xx＞ε_yx＞ε_xy，这些对于输出的误差分量有 着顺序的影响；从标准差σ的角度来看，互相影响相对较大的三个参量为： δ_zy,ε_zC,δ_zz，此三项应重点控制其误差范围，继而减小空间误差在该轴上的误差 分量。

其中由于垂直度误差与平行度PY_zC,S_xz,PY_xA,S_yz,S_xy是系统自身的误差，对其 他参量并无影响。

本专利依据旋量代数的方法，利用指数矩阵型对于大型五轴机床进行空间误 差模型的建立；分别得到空间误差在X-，Y-,Z-轴上的误差分量方程，削减高阶 误差项来简化误差分量方程，最后分别得到E_x,E_y,E_z的表达形式。依据九线法 原理，对于机床在平面上的误差点进行拟合，分别得到了误差在X-Y平面，Y-Z 平面，X-Z平面的误差分布云图。

由于误差项的定义，各个参数之间是有相互影响的。本文采用Morris法的全 局灵敏度分析方法，对于重点误差项在空间误差的各个轴向分量的影响进行分 析。已知由参量的均值对于输出误差量的大小有着正比例的影响，标准差控制着 参量之间互相影响的程度。对于误差输出量影响较大的误差项排序，在X轴向 上，相对重要影响的参量的灵敏度顺序分别是：

δ_xx＞δ_xy＞ε_zC＞ε_zx＞ε_yy＞δ_xA＞ε_yx＞PY_zC＞ε_zz＞S_xz；

Y向δ_yz＞δ_yy＞ε_xA＞δ_yx＞ε_zx＞PY_xA＞ε_yA＞ε_xx＞ε_xy＞S_yz＞S_xy；

Z向δ_zz＞δ_zy＞δ_zx＞ε_zC＞ε_xx＞ε_yx＞ε_xy。对于误差之间影响较大的参量有：X向： ε_zC,δ_xx,ε_yy，Y向：δ_yy,δ_yx,δ_yz，Z向：δ_zy,ε_zC,δ_zz，由于垂直度误差与平行度 PY_zC,S_xz,PY_xA,S_yz,S_xy是系统自身的误差，对其他参量并无影响。重点控制对象应 集中在对于误差相互影响较大的这8项误差上，这些误差项对于其他误差量的变 化有着举足轻重的影响。故，通过分析结果，可以得到结论，通过更换高精度导 轨，来控制直线度误差，也就是减少δ_xx,ε_yy,δ_yy,δ_yx,δ_yz,δ_zy,δ_zz这7项误差的输出 及影响；另外ε_zC项可通过更换摆头的齿轮箱精度来减少误差的输出影响。采用 旋量的指数型方法对大型五轴数控机床进行空间误差的建模，这项技术在近代经 常用于机器人的数学模型建立，结果有着更高的精度，及更简洁的描述特征。建 立空间误差在三个轴向上的分量后，并削减掉高阶误差项，得到三个轴向上的误 差方程；为了进一步确定关键误差源对于误差输出量及误差之间相互影响的大 小，利用Morris法对机床进行全局的灵敏度分析技术，可迅速得到误差源的分 析结果，并提出相应的修改方案。