一种基于非参数核密度估计的风功率波动性概率密度建模方法

技术领域

本发明属于风功率波动量研究领域，具体涉及一种风功率波动量提取及其基于非参数核密度估计的概率密度建模方法。

背景技术

近年来随着我国风电产业迅猛发展，风电并网装机容量持续增长，截止2014年底，我国累计装机容量已达114.6GW。风电的大规模并网虽然能在一定程度上缓解环境压力和能源危机，但风电出力的波动性、随机性等特点也会降低电力系统运行的可靠性，给电网规划和调度带来困难。因此，有必要对风功率的波动性进行研究，掌握其内在概率特性，解决大规模风电的并网运行难题。

目前，对风电出力特性的研究主要集中在风功率不同时间序列下的概率分布，风功率预测误差，风电机组电流谐波等方面，对风功率的波动特性研究较少。现有针对风功率波动性概率密度的研究一般是采用滑动平均方法提取风功率的波动分量，然后再采用参数估计方法对波动分量进行概率建模。然而，一方面，由于滑动平均法对于低频持续分量和高频分量的分离并不彻底，在提取波动量的过程中有可能包含持续分量，从而对建模精度构成影响；另一方面，基于参数估计的概率建模方法依赖于对模型的先验界定，一旦先验模型假设有误差，则无论样本容量多大都无法保证估计模型最终收敛于真实的样本分布，而不同地域的风功率波动特性有可能服从不同的概率密度形式，因而需要确定不同的先验模型，这又降低了风功率概率建模方法的普遍适用性。我国风电场分布广泛，研究不同风电场波动性时很难对所有风电场的波动量分布模型进行先验界定，因此亟需一种适用性更高的风功率波动性分析方法。

发明内容

本发明提出了一种基于非参数核密度估计的风功率波动性概率密度建模方法，该方法以高斯分布为核函数，不需要确定风功率概率密度遵循何种标准参数形式而直接对其进行建模。为提升非参数核密度估计在风功率波动性建模这一具体问题中的适用性，本发明构造了一种以拟合优度检验为约束条件的带宽优化模型，有效解决了带宽选择过程中模型精确性和平滑性协调的问题，然后提出了一种约束序优化算法对模型进行求解，从而提高了非参数核密度估计方法的计算效率。基于两省两地风电场实际运行数据的实施例验证了本发明所提建模方法的正确性和有效性，相比于传统的风功率波动性概率密度建模方法，本发明所提方法具有更高的建模精度和普遍适用性。

本发明所采用的技术方案为：

一种基于非参数核密度估计的风功率波动性概率密度建模方法，包括以下步骤：

步骤1：利用小波分解对风功率高频信号和低频信号的进行分离。假设f(x)为某风电场风功率信号，则其连续小波变换的表达式为：

$>\left(W_{\psi }f\right)(a,b)=|a{|}^{-\frac{1}{2}}\int f(x\left)\psi \right(\frac{x-b}{a})dx---\left(1\right)$>

式中：a为尺度因子，b为平移参数，ψ(·)为一容许小波。

令a＝2^-m，b＝2^-mn，m,n∈Z，即将a，b离散化便可得到离散小波变换：

(DW_ψf)(m,n)＝[f(t),ψ_m,n(t)](2)

其分解结果如图1，表达式为：

f(x)＝a3+d1+d2+d3(3)

式中：a3为风功率低频部分，d1，d2，d3为高频部分。

将风功率低频分量a3作为其持续分量，对剩余高频分量进行累加作为其波动量。

步骤2：利用样本数据构建基于核函数的概率密度模型。假设x₁,x₂,…,x_n为风功率波动量的n个样本，则风功率波动量概率密度函数的非参数核密度估计为：

$>\hat{f}\left(x\right)=\frac{1}{nh}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}K\left(\frac{x-x_i}{h}\right)---\left(4\right)$>

式中：h为带宽，也称为平滑系数，K(·)为核函数。

选择高斯函数作为风功率波动量概率密度估计的核函数，由公式(4)可知，风功率波动性概率密度模型的非参数核密度估计可改写为：

$>\hat{f}(x,h)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }nh}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-x_i}{h}\right)}^2\right]---\left(5\right)$>

非参数核密度估计模型中，带宽h的选择是影响核密度估计精确性的关键因素，因此本发明将拟合优度χ²检验作为约束条件，纳入到带宽优化模型之中，提出了一种带约束的带宽优化模型：

$>\begin{array}{cc}\min & R_{ise}\left(f_h\right)=\int {\left[{\hat{f}}_h\left(x\right)-f\left(x\right)\right]}^{2}dx\\ s.t.& {{\chi }_h}^2\le {{\chi }_{m-1}}^2\left(\alpha \right)\end{array}---\left(6\right)$>

式中：f(x)为风功率波动量的真实概率密度函数，在波动量真实概率密度未知的情况下，一般用基于历史数据的离散统计结果替代；χ_h²为非参数核密度估计的χ²检验统计量；χ_m-1²(α)为显著水平α下自由度为m-1的χ²分布。

步骤3：利用约束序优化方法对模型中的待求参数(带宽)进行优化求解。

步骤3中包括以下步骤：

步骤3.1：在带宽h的解空间中，依照均匀分布抽取N个带宽值构成求解空间Ω，N的个数与解空间的大小密切相关，在解空间小于10⁸时，N的个数一般选1000。

步骤3.2：利用公式(5)确定风功率波动量的概率密度函数。

步骤3.3：利用公式(7)确定观测解集S中解的个数s。

$>\begin{array}{c}\mathrm{Pr}ob\left(\left|\Theta \cap S\right|\ge k\right)\\ =\underset{j=k}{\overset{\min \left(g,s\right)}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s-j}{\Sigma }}\frac{\left(\begin{array}{c}g\\ j\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-g\\ s-i-j\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ s-i\end{array}\right)}\\ \times \left(\begin{array}{c}s\\ i\end{array}\right)q^{s-i}{\left(1-q\right)}^i\ge \eta \end{array}---\left(7\right)$>

式中：Prob(·)为对准概率，g为真实解的个数，s为观测解集S中解的个数，k表示选定集合中至少有k个真实足够好解，η表示观测解集S中含k个足够好解的概率，通常η取0.95，q为解空间中真实观察到可行解的概率。

步骤3.4：以拟合优度χ²检验为粗糙模型，在Ω中求取满足该检验条件的s个解构成观测解集S，其具体检验方法为：

根据所给风功率波动性样本数据，将其分为m个组，由分组结果分别计算不同带宽下χ²检验统计量。

$>{\chi }^2=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\left(\frac{t_i-{\mathrm{np}}_i}{{\mathrm{np}}_i}\right)---\left(8\right)$>

式中：t_i表示落入第i个组的样本实际频数，n为样本的个数，p_i为理论概率值。

判断不同带宽的可行性，当样本容量足够大时，该统计量近似服从自由度为m-1的χ²分布。若χ_h²>χ_m-1²(a)，则意味着风功率波动性的假设分布不成立，检验通过；相反，若χ_h²≤χ_m-1²(a)，则假设成立，检验不通过。

步骤3.5：以公式(6)的目标函数为精确模型，对解集S中的解进行序比较，选取前k个解为真实足够好的解。

与现有方法相比，本发明一种基于非参数核密度估计的风功率波动性概率密度建模方法，具有以下优点和有益效果：

1)本发明利用小波分解对风功率波动量进行提取，相比于传统的滑动平均方法，小波分解能有效剔除风功率波动分量中的持续分量残余，精确性更高。

2)本发明构建的带约束带宽优化模型可以实现模型精确性和平滑性的统筹协调，提升非参数估计方法在风功率波动性概率建模问题中的建模精度，而基于约束序优化的带宽优化模型求解算法提升了非参数估计方法的计算效率。

3)本发明提出的风功率波动量概率密度模型的非参数核密度估计方法完全由样本数据驱动，不需要对概率密度模型进行先验主观假设，因而较传统基于参数估计的建模方法具有更高的精确性和适用性。

附图说明

图1是本发明小波分解结构图。

图2是本发明实施例中风功率持续量与实测数据。

图3是本发明实施例中的风功率波动量。

图4是本发明实施例中的波动量的频谱分布。

图5是本发明实施例中A省某风电场风功率波动性概率密度函数曲线图。

图6是本发明实施例中B省某风电场风功率波动性概率密度函数曲线图。

具体实施方式

一种基于非参数核密度估计的风功率波动性概率密度建模方法，该方法提出了采用小波分解对风功率波动量进行提取的方法，利用所提的一种基于了非参数核密度估计方法对风功率波动量的概率分布进行拟合，具体包括以下步骤：

步骤1：利用小波分解对风功率高频信号和低频信号的进行分离。假设f(x)为某风电场风功率信号，则其连续小波变换的表达式为：

$>\left(W_{\psi }f\right)(a,b)=|a{|}^{-\frac{1}{2}}\int f(x\left)\psi \right(\frac{x-b}{a})dx---\left(1\right)$>

式中：a为尺度因子，b为平移参数，ψ(·)为一容许小波。

令a＝2^-m，b＝2^-mn，m,n∈Z，即将a，b离散化便可得到离散小波变换：

(DW_ψf)(m,n)＝[f(t),ψ_m,n(t)](2)

其分解结果如图1，表达式为：

f(x)＝a3+d1+d2+d3(3)

式中：a3为风功率低频部分，d1，d2，d3为高频部分。

将风功率低频分量a3作为其持续分量，对剩余高频分量进行累加作为其波动量。

步骤2：利用样本数据构建基于核函数的概率密度模型。假设x₁,x₂,…,x_n为风功率波动量的n个样本，则风功率波动量概率密度函数的非参数核密度估计为：

$>\hat{f}\left(x\right)=\frac{1}{nh}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}K\left(\frac{x-x_i}{h}\right)---\left(4\right)$>

式中：h为带宽，也称为平滑系数，K(·)为核函数。

选择高斯函数作为风功率波动量概率密度估计的核函数，由公式(4)可知，风功率波动性概率密度模型的非参数核密度估计可改写为：

$>\hat{f}(x,h)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }nh}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\exp \left[-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-x_i}{h}\right)}^2\right]---\left(5\right)$>

非参数核密度估计模型中，带宽h的选择是影响核密度估计精确性的关键因素，因此本发明将拟合优度χ²检验作为约束条件，纳入到带宽优化模型之中，提出了一种带约束的带宽优化模型：

$>\begin{array}{cc}\min & R_{ise}\left(f_h\right)=\int {\left[{\hat{f}}_h\left(x\right)-f\left(x\right)\right]}^{2}dx\\ s.t.& {{\chi }_h}^2\le {{\chi }_{m-1}}^2\left(\alpha \right)\end{array}---\left(6\right)$>

式中：f(x)为风功率波动量的真实概率密度函数，在波动量真实概率密度未知的情况下，一般用基于历史数据的离散统计结果替代；χ_h²为非参数核密度估计的χ²检验统计量；χ_m-1²(α)为显著水平α下自由度为m-1的χ²分布。

步骤3：利用约束序优化方法对模型中的待求参数(带宽)进行优化求解。

步骤3中包括以下步骤：

步骤3.1：在带宽h的解空间中，依照均匀分布抽取N个带宽值构成求解空间Ω，N的个数与解空间的大小密切相关，在解空间小于10⁸时，N的个数一般选1000。

步骤3.2：利用公式(5)确定风功率波动量的概率密度函数。

步骤3.3：利用公式(7)确定观测解集S中解的个数s。

$>a\begin{array}{c}\mathrm{Pr}ob\left(\left|\Theta \cap S\right|\ge k\right)\\ =\underset{j=k}{\overset{\min \left(g,s\right)}{\Sigma }}\underset{i=0}{\overset{s-j}{\Sigma }}\frac{\left(\begin{array}{c}g\\ j\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-g\\ s-i-j\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ s-i\end{array}\right)}\\ \times \left(\begin{array}{c}s\\ i\end{array}\right)q^{s-i}{\left(1-q\right)}^i\ge \eta \end{array}---\left(7\right)$>

式中：Prob(·)为对准概率，g为真实解的个数，s为观测解集S中解的个数，k表示选定集合中至少有k个真实足够好解，η表示观测解集S中含k个足够好解的概率，通常η取0.95，q为解空间中真实观察到可行解的概率。

步骤3.4：以拟合优度χ²检验为粗糙模型，在Ω中求取满足该检验条件的s个解构成观测解集S，其具体检验方法为：

根据所给风功率波动性样本数据，将其分为m个组，由分组结果分别计算不同带宽下χ²检验统计量。

$>{\chi }^2=\underset{i=1}{\overset{m}{\Sigma }}\left(\frac{t_i-{\mathrm{np}}_i}{{\mathrm{np}}_i}\right)---\left(8\right)$>

式中：t_i表示落入第i个组的样本实际频数，n为样本的个数，p_i为理论概率值。

判断不同带宽的可行性，当样本容量足够大时，该统计量近似服从自由度为m-1的χ²分布。若χ_h²>χ_m-1²(a)，则意味着风功率波动性的假设分布不成立，检验通过；相反，若χ_h²≤χ_m-1²(a)，则假设成立，检验不通过。

步骤3.5：以公式(6)的目标函数为精确模型，对解集S中的解进行序比较，选取前k个解为真实足够好的解。

实施例：

本发明仿真算例以A省某风电场和B省某风电场实测数据为基础，仿真实验在Matlab环境下编程实现。

1)、基于小波分解的风功率波动量提取：

选取A省某风电场某年度1月1日-1月31日的实测有功出力数据进行分析，该数据的采样周期为10min，风电场风机总额定功率为13.6MW。对风电有功出力进行小波分解，经试验选用紧支撑双正交小波db10作为小波基，进行三层分解，其数据结果如图2、3所示。

为验证基于小波分解的风功率波动量提取方法的正确性，本发明还采用滑动平均法对波动量进行提取，并对两种结果进行FFT变换，分析其频谱情况，滑动平均的窗口值选为15，结果如图4所示。由图4可知，利用小波分解后，风功率低频部分(0-50Hz)的幅值为0，其他部分的频谱分布与滑动平均类似，可见，小波分解可以在准确提取风功率波动分量的同时有效剔除其中的持续性分量，而利用滑动平均方法提取的风功率波动量中则可能存在持续分量的残余，从而影响风功率波动性分析的效果。

2)、非参数核密度估计模型的带宽求解：

采用本发明所提方法，构建上述被提取波动量概率密度的非参数核密度估计模型，并求出模型带宽为59.2。计算结果如表1所示。

表1带宽寻优结果表

由表2可知，在本算例中，本发明模型通过了χ²检验，且积分均方误差均较小，建模精度理想，引入χ²检验作为带宽优化模型的约束条件之后，提升了带宽求解模型的寻优效果，能同时保证非参数核密度估计函数曲线的准确性和平滑性。

3)、基于约束序优化的带宽求解算法的有效性分析：

为分析本发明提出的约束序优化算法的计算效率，分别采用遗传算法、粒子群算法和约束序优化算法对本发明的带宽优化模型进行求解，相关计算均在英特尔酷睿i3-3240处理器/3.40GHz，4G内存计算机上完成，其计算结果如表3所示。

表2带宽寻优结果表

由表2可知，本发明提出的求解算法可以有效降低风功率波动量概率密度模型非参数核密度估计方法的计算复杂度，无论是在计算精度和计算效率上都较传统的遗传算法和粒子群算法具有比较明显的优势。

4)、非参数核密度估计建模方法的有效性分析：

为验证本发明提出的风功率波动性概率密度非参数核密度估计方法的正确性，分别利用本发明所提建模方法，t-locationscale分布和正态分布的参数估计方法，针对湖北风电场算例，建立其风功率波动性的概率密度模型，参数估计中的待定参数均由极大似然估计方法计算求得，其概率密度曲线如图5所示。

由图5可知，利用正态分布函数构建的概率密度模型具有较大误差，无法准确描述风功率波动性的概率密度，可见对于参数估计方法而言，先验模型的确定会直接影响到最后的建模准确性，一旦先验模型选择的不合适，则会直接导致所建概率模型无法满足建模精度要求。而采用t分布的参数估计方法和本发明方法所构建的模型均可以有效模拟湖北风电场风功率波动量的概率密度，为进一步评估上述方法的建模精度，采用积分均方误差进行定量分析，其参数及误差指标如表3所示。

表3风功率波动性概率密度模型的积分均方误差

由表3可知，本发明所建模型的积分均方误差更小，表现出了更高的拟合精度。

5)、非参数核密度估计建模方法的适用性分析：

为验证本发明方法在针对不同风电场样本时的适用性，又以B省某风电场某年度1月1日-1月31日风功率历史运行数据为样本，采样周期为10min，分别采用本发明方法，基于t-locationscale分布和正态分布的参数估计方法对B省风电场风功率波动量的概率密度进行建模，其结果如图6所示。

由图6可知，本发明提出的非参数估计方法在B省风电场算例中，依然取得了良好的建模精度，而基于t-locationscale分布和正态分布的参数估计方法在B省算例中，建模误差均有所增加，其详细结果如表4所示。

表4风功率波动性概率密度模型的积分均方误差

由表4可知，相比于A省风电场，参数估计方法针对B省风电场算例构建的概率密度模型的建模误差均有明显增加，其中t-locationscale分布模型的误差增加尤为明显，其原因是，B省地区气候变化较A省更为剧烈，风功率波动性也更大，其波动量遵循的潜在概率分布也与A省不尽相同，而参数估计方法在样本数据先验模型未知的情况下只能采用固定先验分布函数进行概率密度建模，因而可能导致在某些算例中建模精度符合要求，但在另一些算例中误差较大的情况。而本发明提出的非参数估计方法因为无需确定样本数据的先验分布模型，因此也就不会出现上述情况，相比而言，本发明提出的风功率波动性概率密度建模方法的适用性更强。