一类超弹性圆柱壳的非线性振动分析方法

技术领域

本发明属于力学领域，涉及一类超弹性圆柱壳的非线性振动分析方法。

背景技术

橡胶作为一类典型的超弹性材料，它的一些重要性质(如高弹性、大变形等)是工程中不可或缺的一部分。相应地，由这些材料组成的产品范围也很广，如轮胎、垫片、油管等。圆柱壳由于其优异的力学性能，被广泛应用于航天器、输送管、发动机鼓等领域。对于薄壳结构和柔性结构，它们对扰动激励会产生典型的非线性响应。

在力学领域中，板壳结构是实际应用中最经济的结构形式，对板壳混沌振动的研究引起了广泛的关注。Wang等人

一般来说，混沌运动是非线性振动的一部分，对非线性行为的研究是分析混沌现象的基础。超弹性圆柱壳非线性响应的成因主要有两个方面：一是壳体的大变形；二是超弹性材料的非线性本构关系。结构的大变形通常会引入几何非线性，这是研究圆柱壳非线性振动的主要难点。Amabili

在动力学领域中，关于圆柱壳或超弹性结构的研究都较多，但是有少一部分对超弹性圆柱壳的动力学行为进行了研究。Shahinpoor等人

发明内容

为了解决一类超弹性材料组成的圆柱壳的非线性振动的问题，本发明提出如下技术方案：建立描述橡胶圆柱壳大挠度振动的数学模型(非线性微分方程的初边值问题)；对径向、环向和轴向的固有频率进行分析；利用分叉图和Poincaré截面展现橡胶圆柱壳径向振动的非线性行为(周期、拟周期、混沌)。

有益效果：

本发明研究了在径向谐波激励下，由经典不可压缩材料构成的薄壁橡胶圆柱壳的非线性振动问题。基于Donnell非线性薄壳理论、拉格朗日方程以及小应变假设，得到了描述橡胶圆柱壳大挠度振动的非线性微分方程。首先，对径向、环向和轴向的固有频率进行了分析；然后，利用分叉图和Poincaré截面展现了橡胶圆柱壳径向振动的非线性行为。此外，本发明还讨论了结构和材料参数对于圆柱壳径向振动行为的影响。通过分析结构参数和材料参数对壳体径向振动的影响，结果表明当厚径比小于一定临界值时，壳体的振动模态对厚径比十分敏感。此外，就多模态展开来看，在不考虑模态间耦合的情况下，壳体对径向运动的响应比不考虑模态间耦合的情况下更为规律；而在不考虑模态间耦合的情况下，壳体对径向运动的响应更为有趣；未考虑多模态展开的壳体的响应相较于不考虑模态耦合作用更为规律。

本发明建立了问题的数学模型，并对其进行了求解。通过对圆柱壳的径向、环向和轴向的固有频率的分析，及对相应的分叉图和Poincaré截面的方向，挖掘出橡胶圆柱壳径向振动的非线性行为，分别分析了激励幅值、结构参数和材料参数对壳体径向振动的影响，从而在该影响上发现了圆柱壳的动力学行为规律，明确了薄壁橡胶圆柱壳的非线性振动的非线性动力学特性。

附图说明

图1：圆柱壳示意图；(a)相关尺寸与位移的符号定义；(b)x方向的横截面示意。

图2：不同环向波数n对应的壳体的固有频率，α＝0.02,β＝0.5。

图3：参数α和β取不同值时，径向固有频率变化趋势，(a)m＝1，(b)m＝3。

图4：固有频率与结构参数的关系，(a)α～ω,β＝0.5,m＝1，(b)α～ω,β＝2,m＝1，(c)β～ω,α＝0.005,m＝1，(d)β～ω,α＝0.02,m＝1。

图5：圆柱壳径向运动与激励幅值F

图6：圆柱壳产生混沌运动时，不同激励幅值对应的Poincaré截面，(a)F

图7：不用激励频率下描述壳体径向运动的分叉图。

图8：不同激励频率下描述壳体径向混沌运动的Poincaré截面，(a)Ω＝0.909ω

图9：厚径比取不同值时，描述圆柱壳径向运动的分叉图。

图10：厚径比取不同值时，描述壳体径向混沌运动的Poincaré截面，(a)α＝0.0101001， (b)α＝0.0134950，(c)α＝0.0134951，(d)α＝0.0135199，(e)α＝0.0135220，(f)α＝0.017095。

图11：材料参数取不同值时，描述壳体径向运动的分叉图，(a)μ

图12：无耦合情况：给定激励幅值时，F

图13：耦合情况：给定激励幅值时，F

具体实施方式

1发明概述

目前对圆柱壳非线性振动的研究较多，但大多是基于线性本构关系。特别地，基于超弹性本构关系圆柱壳非线性运动的文献报道则较少。本发明研究的重点主要集中于橡胶材料的超弹性而非其他属性(如粘弹性等)，对由不可压缩Mooney-Rivlin材料本构表征的橡胶圆柱壳，研究了它在径向简谐激励作用下的一些有趣的运动，如周期、拟周期及混沌。第2 节给出了相关的张量知识，此外，基于Donnell非线性薄壳理论，给出了描述橡胶圆柱壳运动的控制微分方程；第3节利用Runge-Kutta法求解了该非线性微分方程组，并通过分岔图和Poincaré截面，分别分析了周期激励、结构参数和材料参数对壳体径向振动的影响。最后在第4节给出了本发明得到的几个结论。

2公式

2.1张量基础

令X为初始构型χ

为了分析从初始构型χ

其中F＝dx/dX为变形梯度张量，便于下一步分析，定义一个标准记号

J＝detF (3)

Green-Lagrange应变张量为

基于极分解定理，将变形梯度张量分解为正交旋转张量R和对称张量(右柯西张量U或左柯西张量V)的乘积，然后将一般变形分解为纯拉伸和旋转。极分解定理指出，变形梯度张量F存在一个唯一的形式的左、右分解。

F＝R·U＝V·R (5)

基于变形梯度张量F的右极分解，右Cauchy-Green变形张量给出如下

C＝F

将式(6)代入式(4)可得

则右Cauchy–Green变形张量的不变量可记为

2.2超弹性材料的应变能函数

作为一类典型的超弹性材料模型，Mooney–Rivlin模型经常用于表征橡胶材料的非线性弹性行为，其应变能函数形式如下

其中μ

I

考虑到橡胶材料的不可压缩特性，即有不可压缩条件J＝1

考虑小应变假设，则可得ε

将式(12)和式(10)代入式(9)可得不可压缩Mooney-Rivlin应变能函数的具体表达式。考虑到计算的复杂性，本文只考虑包含小应变ε

2.3壳理论及位移离散

在薄壁橡胶圆柱壳的中面建立柱坐标系(x,θ,z)，如图1所示。x,θ,z分别为轴向、环向和径向。图1(b)给出了圆柱壳垂直于轴向x的横截面，u,v和w分别表示中面在x,θ,z 三个方向的位移。u

根据Kirchhoff-Love假设

基于Donnell非线性浅壳理论，可以得出相应的应变-位移关系如下

一般而言，对于薄壳则有ε

其中ρ和Φ分别为材料密度以及应变能函数。

对于壳体的简支边界条件，当x＝0,l时，则有

v＝w＝0 (18)

为了简化问题，采用近似函数将无限自由度连续系统离散为有限自由度系统。采用以下满足相同几何边界条件的中表面位移的基函数对连续系统进行离散。

其中m,n分别为轴向半波数以及环向波数，λ

2.4拉格朗日方程、外激励以及阻尼

令W

其中F

其中

令

现给出描述圆柱壳运动的Lagrange方程，即：

其中L＝T-P为系统的Lagrangian函数，i为模态数。

将有关的表达式代入Lagrange方程(23)，可得描述圆柱壳运动的非线性微分方程组

其中M是质量矩阵，K为线性刚度矩阵，K

本发明只考虑圆柱壳在径向周期荷载作用下的径向振动，即F

在式(25)两边同时乘以M

其中

Q＝{Q

其中ζ

此外，由于平面内位移相对于径向位移较小，因此相应的平面内的惯性项和阻尼项可以忽略不计。目前，大多数文献通过引入应力函数，忽略表面惯性项和阻尼项，将上述微分方程简化为径向运动微分方程。然而，引入应力函数后，计算过程将变得更加复杂。为了简化这一过程，本发明在忽略平面惯性项和阻尼项的条件下，基于自由度凝聚方法，对式(27) 进行了处理。则式(27))可以给出如下近似的运动和变形关系，

此外，

其中

结合式(31)可得下述运动微分方程：

其中

3数值算例和结果

为了通过数值模拟本发明考虑的非线性振动问题，需选取材料参数和结构参数，即μ

其中α,β分别为厚径比和径长比。

3.1固有频率

现通过分析壳体的固有频率确定结构阻尼系数。利用式(24)可得固有频率的关系式，此外，讨论了不同参数对固有频率变化趋势的影响，如图2所示。

图2不同环向波数n对应的壳体的固有频率，α＝0.02,β＝0.5

与轴向和环向固有频率相比，图2说明了径向运动的固有频率通常较小。因此，为考察到圆柱壳的基频特性，现对圆柱壳的径向固有频率作了进一步的分析。

通过分析结构参数的不同组合，给出了结构参数与径向固有频率之间的关系，如图3 所示。一般来说，短壳的长径比满足β＞1，反之则为长壳。如图3曲线所示，对于中长壳β＝0.5，比较α＝0.005、α＝0.01和α＝0.02可知厚径比α越大，其对应的模态频率越大，环向波数n越大，其影响越显著。通过比较β＝0.5、β＝1.0和β＝1.5可知径长比越大，对应的模态频率越大，环向波数n越小，其影响越显著。

图3是当结构参数α和β取不同值时，径向固有频率变化趋势图，其中(a)的m＝1，(b)的m＝3，此外，通过图3可知，壳体的基频一般不等于模态m＝1，n＝0所对的固有频率。比较厚径比α与长径比β对固有频率的影响可知长径比对基频的影响更加显著。随着长径比β的增大，低频所在模态的环向波数n显著增加。但高阶模态振型却很难被激发，本发明只关注厚径比α的影响。然后利用环向波n＝0～4进一步分析。接下来考虑结构参数对五个模态频率的影响。图4是固有频率与结构参数的关系，(a)的α～ω,β＝0.5,m＝1， (b)的α～ω,β＝2,m＝1，(c)的β～ω,α＝0.005,m＝1，(d)的β～ω,α＝0.02,m＝1。如图4(a)和图4(b)所示，厚径比对橡胶圆柱壳前5个模态频率的影响略有不同。一般情况下，厚径比α对环向波数n较大的模态影响较大，这与图3的分析结果一致。此外，图4(a)中曲线的交叉点表明，对于中等长度的圆柱壳，如果选择适当的参数，具有不同环向波数模态的频率也可以相等，这通常意味着存在1:1的内共振。此外，图4(b)表明，当径长比较大时，低环向波数模态的频率将会非常接近。图4(c)和4(d)表明，径长比β对圆柱壳的固有频率有着极其复杂的影响。这也验证了图3中得出的结论，即当径长β比大于1时，低环向波数模态的频率几乎相等。当径长比β∈(0.5,2)时，模态(m＝1,n＝4) 的频率基本上是最低的，即，当厚径比α较大时，模态(m＝1,n＝3)的频率可能是最低的，但模态(m＝1,n＝4)的频率与之非常接近。此外，不同环向波数所对应的曲线与一定径长比所对应的曲线的交叉点表明内共振与壳的径长比有关。

3.2无耦合效应的非线性振动

显然，基于非线性微分方程组(32)，本发明研究的橡胶圆柱壳的振动行为是强非线性的。其次，采用四阶Runge-Kutta法数值求解方程组，分析了各种参数对橡胶圆柱壳振动特性的影响。此外，从上述分析可以看出，圆柱壳的基频通常是由其径向固有频率决定的。因此，本发明只考虑外部激励等于径向固有频率的情况。通过对图3的分析，发现当环向波数n＝4 时，不同结构参数组合对应的频率最低，并且结构参数的影响也很明显。因此，下面的研究仅考虑了模态(m＝1,n＝4)。另外，如图3所示，随着径长比的增大，使得基频振型为环向波数较大的高阶固有振型。

3.2.1激励幅度和激励频率的影响

一般来说，外部激励的振幅与结构的响应有着最直接的关系。因此，首先需要分析圆柱壳在不同激励幅度下的混沌动力学行为。将结构参数设为α＝0.02,β＝0.5，采用四阶Runge-Kutta法求解非线性微分方程组，选取不同激励幅度下的Poincaré截面，得到圆柱壳径向运动与外激励幅度的分岔图。图5是圆柱壳径向运动与激励幅值F

图5表明，当激振振幅F

图6是圆柱壳产生混沌运动时，不同激励幅值对应的Poincaré截面，其中(a)的 F

图6给出了不同激励幅值条件下的Poincaré截面。发现了一些具有非常有趣分形特征的结构，称为奇异吸引子。一般来说，吸引子可以分为四种类型，即点吸引子、极限环吸引子、环面吸引子和奇异吸引子。这里我们主要介绍奇异吸引子，相空间中的吸引子，里面的点不会重复，轨道也不会相交，但它们始终保持在相空间的同一区域内。与极限环或点吸引子不同，奇异吸引子是非周期的。奇异吸引子可以有无限种不同的形式。随着分叉参数的变化，它们会产生不同程度的旋转和拉伸，看似结构复杂，形状各异，但实际上局部和整体间存在自相似性。此外，奇异吸引子的存在也表明，即使圆柱壳的运动是不规则的和不可预测的，但对于大挠度振动其运动区域仍然是确定的。换言之，壳体任意点的径向运动仅限于由奇异吸引子确定的区域，但无法确定该点的具体位置。这也是具有奇异吸引子的系统的重要特征：局部不稳定但全局稳定。对于奇异吸引子中的两个相邻点，尽管它们会随着时间的推移而彼此分离，但它们不会从奇异吸引子所确定的区域逃逸。

进一步的，为了研究激励频率的影响，将激励幅值取为F

图7描述了具有固定激励幅值和不同激励频率时圆柱壳的径向运动的分叉图，圆柱壳的径向运动。显然，随着频率的变化，周期运动可以从混沌区分岔演化而来，反之亦然。此外，当固有频率与激励频率之比在范围(1.04,1.05)内时，可以观察到周期3的运动。

图8是不同激励频率下描述壳体径向混沌运动的Poincaré截面，其中，(a)的Ω＝0.909ω

3.2.2结构参数的影响

本小节讨论了厚径比α对圆柱壳径向运动的影响。对于薄壳，设定径长比β＝0.5、激励幅值F

3.2.3材料参数的影响

由于橡胶材料的材料参数通常是通过拟合实验数据得到的，不同拟合方法得到的数值可能略有不同。假设材料参数会在文献中给出的初始值上下浮动10％，即：μ′

3.3耦合效应的非线性振动

为分析模态间的相互作用，选取三个模态(m＝1,n＝4；m＝1,n＝0；m＝3,n＝0)进行离散化位移，然后，研究了壳体径向运动的一些有趣的非线性动力学行为。利用时间响应和 Poincaré截面，进行了简单的对比分析。图12是无耦合情况：给定激励幅值下时间响应和 Poincaré截面，F

图12(a，b，c)给出了利用四阶Runge-Kutta法，求得的无耦合情况下的解。有趣的是，在多模态离散化条件下，非耦合情况下也可能存在混沌现象，但其精细结构特征不再明显。这可能是由于自由度的增加导致计算复杂度的增加，从而导致精度的降低。此外，由于不考虑耦合效应，模态之间的响应是独立的。这意味着当有一个模态出现混沌响应时，其他模态的响应仍然可以是周期的。此外，轴对称模态的振幅远小于非轴对称模态。这说明不考虑耦合效应时，对单轴对称模态分析是可行的。图13是耦合情况：给定激励幅值下时间响应和Poincaré截面，F

图13(a，b，c)给出了利用四阶Runge-Kutta法，求得的耦合情况下的解。在轴对称模态中，准周期运动代替了混沌运动，使得响应更加规则。这在一定程度上意味着模态间的耦合效应可以提高运动的稳定性。同时，由于耦合效应，各阶模态也具有同步效应，即，各阶模态响应特性相似。如图13所示，三个模态的Poincaré截面有五个孤立区域。

4结论

本发明研究了由不可压缩Mooney-Rivlin材料组成的橡胶圆柱壳在径向简谐激励作用下的非线性振动问题。值得注意的是，一般情况下，可以利用橡胶材料在一定条件下的相关超弹性本构关系来近似描述橡胶材料力学行为

(1)厚径比和径长比的增大都能提高模态的固有频率，厚径比对环向波数较大的模态有显著影响，而径长比对环向波数较小的模态有显著影响。

(2)当激励幅度大于某个临界值时，径向运动通过倍周期分岔的形式在混沌运动与周期运动之间交替进行。此外，当激励幅值足够大时，随着激励频率的变化，周期运动可以从混沌区分岔出来。

(3)厚径比对圆柱壳的混沌行为有显著影响，对于给定的比值，当该值小于临界值时，橡胶圆柱壳的振动对该比值高度敏感。这意味着比率的微小变化可以将混沌运动转化为周期运动，反之亦然。

(4)对于不可压缩Mooney-Rivlin模型，材料参数μ

(5)对于多模态情况，当不考虑不同模态之间的耦合效应时，圆柱壳的响应与单模态的情况相似。然而，当考虑耦合效应时，将得出不同的结论；此外，耦合效应可以提高结构响应的稳定性。

致谢：本发明得到了国家自然科学基金(Nos.11672069,11702059,11872145)的资助。

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附录

线性刚度矩阵：

K

K

K

K