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A spectral-based numerical method for Kolmogorov equations in Hilbert spaces

机译：Hilbert空间中Kolmogorov方程的基于谱的数值方法

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We propose a numerical solution for the solution of the Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equations associated with stochastic partial differential equations in Hilbert spaces. The method is based on the spectral decomposition of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup associated to the Kolmogorov equation. This allows us to write the solution of the Kolmogorov equation as a deterministic version of the Wiener-Chaos Expansion. By using this expansion we reformulate the Kolmogorov equation as an infinite system of ordinary differential equations, and by truncating it we set a linear finite system of differential equations. The solution of such system allow us to build an approximation to the solution of the Kolmogorov equations. We test the numerical method with the Kolmogorov equations associated with a stochastic diffusion equation, a Fisher-KPP stochastic equation and a stochastic Burgers equation in dimension 1.
机译：我们为Hilbert空间中与随机偏微分方程相关的Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程的解提出了一个数值解。该方法基于与Kolmogorov方程关联的Ornstein-Uhlenbeck半群的光谱分解。这使我们能够将Kolmogorov方程的解写为Wiener-Chaos展开式的确定性版本。通过使用这种展开，我们将Kolmogorov方程重新构造为一个常微分方程的无限系统，并通过将其截断来设置一个线性微分方程的有限系统。这种系统的解使我们能够建立Kolmogorov方程解的近似。我们使用与维度扩散为1的随机扩散方程，Fisher-KPP随机方程和随机Burgers方程相关的Kolmogorov方程测试数值方法。

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