数论

摘要： (本讲适合高中)组合问题是数学竞赛中一种常见的问题,此类问题涉及的知识面较广,解法多种多样,但解题的得分率一般较低.本文只研究涉及数论知识的组合竞赛题,在分析问题的过程中,通过逻辑推理分解出与数论有关的子问题,从而应用数论的思想方法和基础知识解决问题.

摘要： (本讲适合高中)本文介绍与排列有关的计数问题,这类问题频繁出现在国内外各级数学竞赛中.因为与置换群相关,在一些大学教材(如文[1])中也有所涉及.这类问题灵活有趣,题面自然优美,主要偏代数,也有部分与数论相关.解决这类问题需要较强的综合能力,大多数从递推的角度考虑,也可以研究排列的结构后直接计算.

摘要： (本讲适合初中) 反证法是间接证法中的一种.在解答某个数学问题时,若感到条件"不足"或无从下手,不妨考虑使用反证法.反证法最大的优点是无形中多了一个或几个条件,从原结论的相反结论出发,再利用原有的一些已知条件,导出矛盾,从而达到否定假设、肯定原命题的目的.[1]反证法的应用很广泛、多数用于代数、数论和组合题目的处理.其实,在平面几何中,也有一些情况,用反证法来处理较常规方法更为流畅自然.本文举例说明.

摘要： 在数学竞赛的学习中,我们会有很多的联想,将一道题的思路运用到其他题目甚至其他板块中.在学习数论时,非常熟悉下面的结论: 命题1设a、m、n是正整数,a>1,则(a^(m)-1,a^(n)-1)=a^(mn)-1.

摘要： 秦历红:刘老师,因数、倍数、质数(也叫素数)、合数以及最大公因数、最小公倍数等概念,对小学生而言不是特别好理解,但又是重点。这部分知识属于数论的内容吧?刘劲苓:是的,数论是研究整数的性质的一门学问,它历史悠久,以严格、简洁、抽象著称。高斯认为,“数学是科学的皇后,数论是数学的皇后”,可见数论在数学中的地位。秦历红:这么说来,数论的知识在数学学习中真的很重要。其中有些内容,我了解一些却并不丰富和深入,希望可以和大家一起继续学习。

摘要： 利用数学归纳法对Fermat定理从幂的指数展开进行了推广,从而得到了证明Euler定理的一种新方法.Fermat定理与Euler定理是等价的.

摘要： 文章首先介绍了Nim游戏在数学中的历史背景和其具体规则,并介绍了目前对于Nim游戏的成熟研究结果;然后通过数学分析给出了在Nim游戏中,当参与游戏的堆的大小互不相同且二进制位数有上限的情况下,先手必败局面数量的计算表达式;最后通过对计算表达式的具体分析和运用数论中的成熟结果,给出了求解先手必败局面数量后若干位的快速算法.

摘要： 笔者近期在研究一些自主招生和竞赛问题时,发现了一类递推数列问题,研究其有关数论的问题中可以找到共同的性质.我们使用数论中的同余和模周期数列这一角度去探讨这些问题.一、从一道自主招生试题谈起例1(2020年北京大学“强基计划”第6题)已知数列{a_(n)}满足:a_(1)=1.

摘要： 网络信息安全是计算机相关专业的一门重要课程,其中的密码学部分涉及到数论的相关知识,抽象而难以理解.Wolfram Alpha是一款在线知识型搜索引擎,兼具强大的功能和良好的易用性.文章介绍网络信息安全课程涉及到的基础数论知识,结合实例展示用Wolfram Alpha解决相关问题的方法,以期通过Wolfram Alpha的使用来提升教学效果.

摘要： 对于我们每一个人来说,数学都是从算术开始的。先是认识最基本的数概念,即正整数1、2、3、……接着是加法和减法、乘法和除法运算。然而,算术不仅包含加、减、乘、除这些基本的运算,而且还包含整数的一些较深层次的性质,这便是人们所说的数论。由于数论的内容博大精深,从欧几里得时代开始,数学家们对它的兴趣就丝毫没有减退过,甚至有许多数学家为之倾注了毕生的心血。正如德国数学家高斯所说:"数学是科学的皇后,而数论是数学的皇后。"

摘要： 根据希腊数学史和亚里士多德对毕达哥拉斯学派思想的转述,可以发现毕达哥拉斯学派的数论包含自然主义的和形式性的两种体系,相应地,数的本质就是世界的自然秩序或先天秩序.这两种秩序都是毕达哥拉斯派学者把单位和尺度概念引入朴素的、人类学的数概念,并使算术几何化的结果.毕达哥拉斯派的这种研究对后世数学、科学和哲学产生了深远影响.

摘要： 为了在全局范围正确评价圆度误差,本文借用均匀分布和数论的思想,选择合适数量的初始点,使之均匀分布在设计变量(圆心坐标和半径)可行域之内,同时利用普通的优化迭代算法,得到若干个局部最优点,选择其中使圆度误差最小的一点作为圆度误差评价结果.计算结果表明,介绍的方法可以有效、正确地评价圆度误差.

摘要： 网络科学第一波浪潮是由外国学者掀起的，即互联网+大数据—节点加信息，而网络科学第二波浪潮则是由我国学者发动：互联网+动力学—节点加方程。网络科学第三波浪潮，预测即将来临，表现为互联网+博弈论—节点加博弈以及互联网+纯数学—节点加曲线。

摘要： 网络科学第一波浪潮是由外国学者掀起的，即互联网+大数据—节点加信息，而网络科学第二波浪潮则是由我国学者发动：互联网+动力学—节点加方程。网络科学第三波浪潮，预测即将来临，表现为互联网+博弈论—节点加博弈以及互联网+纯数学—节点加曲线。

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摘要： 网络科学第一波浪潮是由外国学者掀起的，即互联网+大数据—节点加信息，而网络科学第二波浪潮则是由我国学者发动：互联网+动力学—节点加方程。网络科学第三波浪潮，预测即将来临，表现为互联网+博弈论—节点加博弈以及互联网+纯数学—节点加曲线。

摘要： 网络科学第一波浪潮是由外国学者掀起的，即互联网+大数据—节点加信息，而网络科学第二波浪潮则是由我国学者发动：互联网+动力学—节点加方程。网络科学第三波浪潮，预测即将来临，表现为互联网+博弈论—节点加博弈以及互联网+纯数学—节点加曲线。

摘要： 为解决离散数学课程实践教学中出现的问题，开发出一套离散数学在线实践系统。该系统能使考生注册并登录后，既可参加离散数学在线考试又可参加在线的实践练习。rn 题目类型分为选择题、填空题、判断对错、程序设计题等，由计算机当场自动评判提交的结果。现场考试使用身份识别系统进行身份验证，保证了在线实践系统的安全性。

摘要： 为解决离散数学课程实践教学中出现的问题，开发出一套离散数学在线实践系统。该系统能使考生注册并登录后，既可参加离散数学在线考试又可参加在线的实践练习。rn 题目类型分为选择题、填空题、判断对错、程序设计题等，由计算机当场自动评判提交的结果。现场考试使用身份识别系统进行身份验证，保证了在线实践系统的安全性。

摘要： 本发明公开了一种数论变换计算电路、方法及计算机设备，该计算电路包括：旋转因子生成模块、数论变换计算单元及反向数论变换计算单元，其中，旋转因子生成模块用于获取基础运算参数，并基于基础运算参与生成派生参数及旋转因子；数论变换计算单元包括：多级第一计算层，各级第一计算层分别用于基于基础运算参数、派生参数、旋转因子及前一级第一计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第一输出结果；反向数论变换计算单元包括：多级第二计算层，各级第二计算层分别用于基于基础运算参数、旋转因子、第一输出结果及前一级第二计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第二输出结果。

摘要： 本发明公开了一种应用于环域上误差学习加密算法的数论变换单元和方法，属于信息安全算法的电路实现领域。该数论变换单元包括：输入输出控制器、蝶形运算单元、地址生成器、有限状态机；所述输入输出控制器控制与外部存储器的读写设计与数据输出；所述蝶形运算单元实现基本的数论变换蝶形运算；所述地址生成器生成数据地址及对应的旋转因子；所述有限状态机控制整个蝶形运算单元的工作流程。本发明采用基于分布式存储的快速模乘电路，减少蝶形运算中求模运算所带来的大量时间；在较少的电路资源消耗下，能够快速完成数论变换，极大地提高电路的运行效率，达到了环域上误差学习加密算法高速加密与解密的目的。

摘要： 本发明公开了一种应用于格密码体制的可重构数论变换单元和方法，属于信息安全算法的电路实现领域。本发明包括输入输出控制器、蝶形运算单元、地址运算器、状态控制器、动态重构控制器；输入输出控制器用于控制对外部储存器的数据读写操作，蝶形运算单元用于对输入的数据实现模乘运算和蝶形运算，地址运算器用于实现对数据地址的运算，并为蝶形运算单元提供旋转因子和逆元，动态重构控制器用于控制参数的选择、运算长度的控制以及模的选择，状态控制器用于控制整个可重构数论变换单元的工作流程。本发明通过动态可重构设计，能设置不同参数及对数论变换单元内相关随机存储器中存储的数据进行更新，以实现多种模、多种数据个数下的数论变换。

摘要： 本发明公开了一种用于大数乘法的数论变换电路，包括主控单元，接收变换前数据并存储入主存，向地址生成单元发送数论变换开始信号；主存，存储数论变换前中后的数据；基16运算单元，实现16点的数论变换并存入第一随机存储器；地址生成单元，生成取数地址，将取数地址作为存储地址发送给转置及旋转因子相乘单元，生成旋转因子只读存储器地址发送给旋转因子只读存储器；转置及旋转因子相乘单元，读取第一随机存储器中矩阵，完成矩阵的转置，以及矩阵和旋转因子的点乘并根据存储地址将结果存入主存；旋转因子只读存储器读取旋转因子发送给转置及旋转因子相乘单元。本发明实现786432bits数字乘法的数论变换，提高运算利用率，节省电路逻辑及存储资源。

摘要： 本申请公开一种基于数论变换的格密码多项式乘法运算的优化方法及装置。所述优化方法包括：在所述数论变换前，将需要进行变换的多项式系数存储在外部寄存器中；根据所述格密码算法的变换参数，计算初始化旋转因子并在所述外部存储器中进行预存储；在当前阶变换中，读取预存储的所述初始化旋转因子，迭代计算当前阶旋转因子；采用变换算法，对计算的所述当前阶旋转因子和读取的所述多项式系数进行当前阶变换。通过在迭代中动态生成旋转因子，去除了对旋转因子进行预计算的操作，从而节省存储空间，使得算法支持更多不同的参数设置，更加节约芯片面积。

摘要： 本发明公开了一种数论变换素数下的模乘运算方法，采用Karatsuba分治算法和多步Montgomery约减算法相结合的方式来进行素数域上的模乘运算ab mod p，使用了Karatsuba分治技巧之后，使用使得数乘的运算复杂度降低为原来的四分之三左右；并且，Montgomery约减算法的核心算法思想是“以乘代除”，通过在原数E的基础上加上模数p的某一个倍数k×p，使其在模意义下不变的前提下转化为一个比特表示尾部全为0的数，然后直接通过舍弃尾端的0来实现数值的约减；可以节约一定的计算资源，同时一定程度上提升模乘速度。

摘要： 本发明提出一种基于GPU快速数论转换的全同态加密门自举方法，使用矩阵运算的形式来计算NTT，并且使用扩充到192位的方式，以移位代替乘法，从而在乘法之后完全不需要进行取模运算，大大减少了取模运算的数量，并且在移位之前进行了合并预处理，减少了移位运算的数量，提升了快速数论转换的运算效率。

摘要： 本发明公开了一种数论变换装置，包括输入控制单元、旋转因子产生单元、主运算单元和输出控制单元；其中，输入控制单元与主运算单元连接，用于实现数据的传输；旋转因子产生单元与主运算单元连接，用于和主运算单元通过握手信号进行同步，生成主运算单元计算中每个stage所需要的旋转因子；主运算单元设置蝶形计算单元，用于通过蝶形计算来实现每个stage的数据流模乘计算；输出控制单元与主运算单元连接，用于将待输出数据结果的数据流位宽、时钟域转换按照后级模块需求进行转换输出。本发明实现提高了运算并行度，降低了了数论变换装置的平均计算时间，提高了系统处理能力。

摘要： 一种基于快速数论转换的多项式快速求积方法。本发明公开了一种用于在计算有限域中多项式乘法的高效方法。具体来说，对于为多项式环，Φs(x)为分圆多项式)上的两个n(n为正整数)维多项式的乘积，分别提出混合数论转换H‑NTT和G3‑NTT。主要包括：H‑NTT和G3‑NTT的基本构造，复杂度分析，最优条件以及方法实现。可以广泛应用于基于环上错误学习RLWE(Ring Learning with Errors Problem)和模上错误学习MLWE(Module Learning with Errors Problem)的密码方案实现中。

摘要： 本发明公开了一种数论变换计算电路、方法及计算机设备，该计算电路包括：旋转因子生成模块、数论变换计算单元及反向数论变换计算单元，其中，旋转因子生成模块用于获取基础运算参数，并基于基础运算参与生成派生参数及旋转因子；数论变换计算单元包括：多级第一计算层，各级第一计算层分别用于基于基础运算参数、派生参数、旋转因子及前一级第一计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第一输出结果；反向数论变换计算单元包括：多级第二计算层，各级第二计算层分别用于基于基础运算参数、旋转因子、第一输出结果及前一级第二计算层的输出对所处级数对应点数的输入数据进行蝶形计算，得到第二输出结果。