考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法

技术领域

本发明涉及考虑不同温度循环载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法，属 于失效物理技术领域。

背景技术

随着电子封装技术的不断发展，应用电子产品的领域日益广阔，电子产品使用过程中所 遭受的环境条件愈加复杂、恶劣，可能出现环境突变、工作模式变换等情况，使电子产品处 于载荷顺序加载的载荷条件下。BGA焊点(球栅阵列封装焊点)作为保障电子产品可靠性 的关键环节，其疲劳寿命的预测评估对产品而言具有重要意义。然而，对于焊点疲劳中最主 要的热疲劳，现有温度循环条件下的寿命预测模型不能考虑加载条件变化时载荷顺序的影 响，而应用Miner理论进行线性累积结果会有较大误差，相应的研究工作又十分有限，没有 便于应用的成熟方法。

鉴于此，需要研究不同温度循环载荷顺序加载对焊点的疲劳寿命的影响，提出考虑该影 响的改进寿命预测模型，进而形成一种考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命 预测方法。在总结已有焊点疲劳寿命预测模型及累计损失理论的基础上，结合相关试验数据， 分析了温循载荷顺序加载对焊点疲劳寿命的影响，并构建了考虑该影响的疲劳寿命预测模 型，进而应用试验数据与Miner理论预测结果进行了分析验证，最终提出了一种考虑温循载 荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法。

发明内容

本发明的目的是：提供一种考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方 法，提高温循载荷顺序加载下BGA焊点热疲劳寿命预测结果的准确性。

首先引入七个定义。

定义1：温循载荷顺序加载：指不同温循载荷条件按照某种顺序和循环时间依次加载的 载荷条件。

定义2：Darveaux模型：Darveaux针对BGA封装，将试验测得的低周疲劳裂纹萌芽及 生长率和非弹性功联系起来，提出的基于损伤累积的能量模型。

定义3：Miner理论：Palmgren-Miner线性累积损伤准则。

本发明的技术方案：分析温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响；构建考虑 温循载荷顺加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型；提出考虑温循载荷顺序加载影响的 BGA焊点热疲劳寿命预测模型参数拟合方法；应用试验数据并与Miner理论结果对照，进 行上述模型的分析验证；结合分析结果，完成考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲 劳寿命预测方法的构建。

本发明是一种考虑温循载荷顺加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法，其步骤如下：

步骤1，根据试验数据，分析温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响及原因；

步骤2，根据温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响并参考Paris公式对 Darveaux模型进行改进，构建考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型；

步骤3，结合模型特点，确定考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测 模型中各参数的拟合确定方法；

步骤4，利用试验数据进行考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模 型的分析验证，分别进行单温度循环载荷下与Darveaux模型疲劳寿命预测结果的对照分析， 以及温循载荷顺序加载下与Miner理论疲劳寿命预测结果的对照分析；

步骤5，在上述工作的基础上，完成考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿 命预测方法的构建。

其中，在步骤1中所述的“温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响及原因”， 温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响为：当温循载荷由高到低顺序加载时，BGA 焊点热疲劳试验中测得的疲劳寿命比Miner理论预测的疲劳寿命短，而当温循载荷由低到高 顺序加载时，试验测得的疲劳寿命比Miner理论预测的疲劳寿命长；产生上述影响的原因为： 焊点热疲劳失效的早期，焊点内部受滑移带形成、塑形变形的影响会产生循环软化现象，从 而降低热不匹配产生的应力，延缓焊点热疲劳发展，并且在温循载荷条件较低的情况下该现 象更为显著，另外较低的载荷条件能够缓解细微缺陷，而较高的载荷条件会加剧细微缺陷的 演化，促进焊点裂纹的形成，综上不同温循载荷顺序加载会对焊点热疲劳寿命产生不同影响。

其中，在步骤2中所述的“根据温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响并参考 Paris公式对Darveaux模型进行改进”，改进内容为：将Darveaux模型裂纹扩展阶段中描述 的平均裂纹扩展速率改为与循环数相关的瞬时裂纹扩展速率，引入与承受载荷条件相关的载 荷因子以及与裂纹萌生阶段承受载荷历史相关的状态因子。

其中，在步骤3中所述的“各参数的拟合确定方法”，拟合确定方法为：裂纹萌生阶段相 关参数直接采用Darveaux模型裂纹萌生阶段相关参数，裂纹扩展阶段相应的载荷因子和状 态因子采用利用试验数据拟合的方法确定。

其中，在步骤4中所述的“以及温循载荷顺序加载下与Miner理论疲劳寿命预测结果的 对照分析”，其中温循载荷顺序加载为：焊点在低温循载荷条件下循环一定周期数后加载高 温循载荷条件直至焊点失效以及高温循载荷条件下循环一定周期数后加载低温循载荷条件 直至焊点失效。

其中，在步骤5中所述的“完成考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测 方法的构建”，该寿命预测方法包括：假设适用条件、考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊 点热疲劳寿命预测模型以及模型中相关参数的确定方法。

本发明与现有技术相比有如下优点：

第一，本发明考虑温循载荷顺序加载对BGA焊点疲劳寿命的影响，相应载荷条件下应 用本方法得出的BGA焊点热疲劳寿命与传统方法相比更符合实际结果、更为准确。

第二，本发明给出了考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法实施 应用细节，具有工程应用价值。

附图说明

图1为本发明所述的考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法流程 图；

图2为温循载荷条件1到温循载荷条件2顺序加载下裂纹扩展循环数与裂纹长度关系示 意图；

图3为焊点裂纹长度与裂纹扩展循环数关系示意图；

图4为条件下，考虑温循载荷顺序加载影响的热疲劳模型和 Darveaux模型裂纹扩展循环数与裂纹长度拟合结果对照图；

图5为考虑温循载荷顺序加载影响的热疲劳模型和Darveaux模型 裂纹扩展循环数与裂纹长度拟合结果对照图；

图6为温循载荷由高到低顺序加载下考虑温循载荷顺序加载影响的热疲劳模型与Miner 准则预测结果对比；

图7为温循载荷由低到高顺序加载下考虑温循载荷顺序加载影响的热疲劳模型与Miner 准则预测结果对比；

图2中符号说明如下：

n₁：当载荷条件变化时，焊点已经历的裂纹扩展阶段对应的循环数；

n₂：当载荷条件变化时已完成循环数n₁所对应同等裂纹长度在载荷条件2下需完成的循 环数；

a₁：载荷条件1下循环数n₁对应的裂纹长度；

a₂：载荷条件2下循环数n₂对应的裂纹长度。

具体实施方式

本发明所述的考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法，见图1所 示，该方法的具体实施方式步骤如下：

步骤1，根据试验数据，分析温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响及原因。

温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响为：当温循载荷由高到低顺序加载时， BGA焊点热疲劳试验中测得的疲劳寿命比Miner理论预测的疲劳寿命短，而当温循载荷由 低到高顺序加载时，试验测得的疲劳寿命比Miner理论预测的疲劳寿命长。

产生上述影响的原因为：焊点热疲劳失效的早期，焊点内部受滑移带形成、塑形变形的 影响会产生循环软化现象，从而降低热不匹配产生的应力，延缓焊点热疲劳发展，并且在温 循载荷条件较低的情况下该现象更为显著，另外较低的载荷条件能够缓解细微缺陷，而较高 的载荷条件会加剧细微缺陷的演化，促进焊点裂纹的形成，综上不同温循载荷顺序加载会对 焊点热疲劳寿命产生不同影响。

步骤2，根据温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响并参考Paris公式对 Darveaux模型进行改进，构建考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型；

Paris公式：

      $\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C{\left(\mathrm{\Delta K}\right)}^n,\mathrm{\Delta K}=\mathrm{\Delta \sigma Y}\sqrt{\mathrm{\pi a}}---\left(1\right)$      

式中，C,n为试验测得的材料常数；△K为应力场强度因子幅；N为裂纹扩展阶段的循 环数；a为第N次循环时对应的裂纹长度；Y为几何因子，其值与裂纹形态、试样形状及加 载方式有关，一般在1～2之间。

Darveaux模型：

      $N_o=k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}}\right)}^{k_2}---\left(2\right)$      

      $\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=k_3{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}}\right)}^{k_4}---\left(3\right)$      

      $N_f=N_o+\frac{a}{\mathrm{da}/\mathrm{dN}}---\left(4\right)$      

式中：N_o为裂纹萌生阶段的循环数；△W_ave为体积均匀化的粘塑性应变能密度增量；a 为断裂特征长度；为裂纹扩展率；N_f为特征寿命(失效概率为63.2％的循环数)；k₁、k₂、 k₃、k₄为相关系数。

步骤201，结合温循载荷顺序加载对BGA焊点热疲劳寿命的影响提出考虑温循载荷顺 序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型的前提假设条件。

裂纹到达一定长度时焊点发生失效：结合BGA封装器件特性，将疲劳裂纹演化到使器 件产生结构功能失效时对应的裂纹长度作为失效判别准则。

焊点疲劳失效分为裂纹萌生和裂纹扩展两个阶段：认为焊点疲劳失效包括裂纹萌生和裂 纹扩展两个阶段，即：N_f＝N_o+N，其中N_o为裂纹萌生寿命，N为裂纹扩展寿命，N_f为 裂纹总疲劳寿命。

裂纹萌生阶段存在循环软化现象：认为温度循环载荷条件下，裂纹萌生阶段焊点的弹性 模量会随循环数的增加而逐渐降低，即存在循环软化现象，而裂纹扩展阶段无这种循环软化 现象。

裂纹扩展行为受裂纹萌生阶段载荷条件影响：认为焊点裂纹萌生阶段的载荷条件会影响 其内部缺陷，即低载荷能够缓解内部缺陷，根据断裂力学应力和强度原则，能够延长焊点疲 劳寿命；而高载荷不能缓解内部缺陷，甚至促进缺陷的扩大，从而缩短焊点疲劳寿命。

焊点疲劳失效中无过载停滞现象：过载是指材料遭受恒幅疲劳载荷作用中突然受到更高 载荷作用，随后又恢复到初始载荷条件的加载过程。裂纹闭合模型对过载这种载荷变化瞬间 带来的次序效应进行了分析，认为过载会使裂纹扩展产生短暂停滞，即产生过载停滞现象， 从而影响材料疲劳寿命。但相较于材料所受载荷史对其结构参数产生的影响，过载停滞现象 影响更为短暂、产生次数也有所限制，因此可忽略该现象产生的影响，模型构建中不对其进 行考虑。

步骤202，在上述前提假设条件下对Darveaux模型进行改进，构建考虑温循载荷顺序加 载影响的裂纹萌生及裂纹扩展阶段的模型公式。

裂纹萌生阶段：

      $N_o=k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}}\right)}^{k_2}---\left(5\right)$      

式中，N_o为裂纹萌生阶段的循环数；△W_ave为体积均匀化的粘塑性应变能密度增量；k₁、 k₂为相关系数。

裂纹扩展阶段：

      $\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=\alpha N^{\beta }---\left(6\right)$             

式中，da/dN为裂纹扩展阶段对应的裂纹瞬时扩展速率；N为裂纹扩展阶段循环数；α,β 为参数常量，α为载荷因子，与BGA焊点所承受的温循载荷条件相关，β为状态因子，与 BGA焊点裂纹萌生阶段所受的温循载荷相关，载荷越低其值越小。特别地，当β＝0时 da/dN＝α为常量，此时模型与Darveaux模型一致。

单温循载荷条件下的疲劳寿命预测公式：

      $N_f=N_o+N=k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}}\right)}^{k_2}+{(\frac{\beta +1}{\alpha }·a)}^{1/(\beta +1)}---\left(7\right)$      

式中，a为特征裂纹长度；N_f为裂纹扩展到特征裂纹长度a对应的循环数，即焊点疲劳 寿命；N_o为裂纹萌生阶段的循环数；△W_ave为体积均匀化的粘塑性应变能密度增量；k₁、k₂为相关系数；da/dN为裂纹扩展阶段对应的裂纹瞬时扩展速率；N为裂纹扩展阶段循环数； α为载荷因子常量，与BGA焊点所承受的温循载荷条件相关；β为状态因子，与BGA焊点 裂纹萌生阶段所受的温循载荷相关。

步骤203，在上述公式模型的基础上，推到考虑温循载荷顺序加载的BGA焊点疲劳寿 命预测模型。

以载荷条件1和载荷条件2两种不同温循载荷顺序加载为例，假设BGA焊点在温度循 环载荷条件1下进入裂纹扩展阶段并在该阶段经过n1循环后，温度循环载荷条件变化为条 件2加载直至焊点失效，其过程见图2，此过程中引入了条件1到条件2载荷顺序(由高载 荷到低载荷或低载荷到高载荷)施加的影响，按照之前提出的公式模型，该情况下焊点热疲 劳的寿命预测公式推导如下：

BGA焊点在温度循环载荷条件1下进入裂纹扩展阶段后，当温度循环载荷条件发生变 化时，若不考虑载荷顺序产生的影响，同等裂纹长度下(a₂＝a₁)，载荷条件2对应的裂纹 瞬时扩展速率为：

      $d{a}_2/d{N}_2={\alpha }_2{n}_2^{{\beta }_2}---\left(8\right)$      

式中：n₂为当载荷条件变化时已完成循环数n₁所对应同等裂纹长度在载荷条件2下需完 成的循环数；da₂/dN₂代表a₂＝a₁时载荷条件2下的裂纹瞬时扩展速率；α₂,β₂为载荷条件2 下裂纹扩展公式中的常量参数。

但考虑到建模时循环软化及裂纹扩展行为假设，此时受载荷顺序影响状态因子β取决于 裂纹萌生阶段原载荷条件，即β＝β₁(β₁为载荷条件1下裂纹扩展公式中的状态因子常量)， 因此实际裂纹瞬时扩展速率应为：

      $d{a}_2/d{N}_2={\alpha }_2{n}_2^{{\beta }_1}---\left(9\right)$      

此时与循环数n₁和循环数n₂对应的裂纹长度分别为：

      $a_1=\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1+1}{n}_1^{{\beta }_1+1}---\left(10\right)$      

      $a_2=\frac{{\alpha }_2}{{\beta }_2+1}{n}_2^{{\beta }_2+1}---\left(11\right)$      

又由于循环数n₁和循环数n₂对应的裂纹长度相等，即a₁＝a₂，因此由式(10)和式(11) 联立可求得循环数n₂与循环数n₁的关系式，将其带入式(9)可得裂纹扩展速率与循环数n₁的 关系式：

      $d{a}_2/d{N}_2=\left\{{\alpha }_2{\left[\frac{{\alpha }_1({\beta }_2+1)}{{\alpha }_2({\beta }_1+1)}\right]}^{\frac{{\beta }_1}{{\beta }_2+1}}\right\}{n}_1^{\frac{{\beta }_1({\beta }_1+1)}{{\beta }_2+1}}---\left(12\right)$      

令$A={\alpha }_2{\left[\frac{{\alpha }_1({\beta }_2+1)}{{\alpha }_2({\beta }_1+1)}\right]}^{\frac{{\beta }_1}{{\beta }_2+1}},B=\frac{{\beta }_1({\beta }_1+1)}{{\beta }_2+1}$

假设以后裂纹扩展速率满足上述形式，并且该曲线(图2中载荷1→载荷2曲线横坐标n₁之后部分)过图2中点(n₁,a₁)，则载荷条件改变后，将式(12)进行积分可得循环数n₁之 后对应裂纹增长量△a为：

      $\mathrm{\Delta a}=a-a_1=\frac{A}{B+1}{(n-n_1)}^{B+1}---\left(13\right)$      

将上式与式(10)联立，可得总裂纹长度a与裂纹扩展循环数n之间的关系为：

      $a=\frac{A}{B+1}{(n-n_1)}^{B+1}+\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1+1}{n}_1^{{\beta }_1+1}---\left(14\right)$      

由上式可求得裂纹扩展循环数n关于总裂纹长度a的表达式，用符号N_p代替符号n，及 裂纹扩展寿命N_p为：

      $N_p={\left[\frac{B+1}{A}(a-\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1+1}{n}_1^{{\beta }_1+1})\right]}^{\frac{1}{B+1}}+n_1---\left(15\right)$      

所以由式(5)和式(15)可得焊点热疲劳失效总寿命为：

      $N_f=N_{o1}+N_p=k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}1}\right)}^{k_2}+n_1+{\left[\frac{B+1}{A}(a-\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1+1}{n}_1^{{\beta }_1+1})\right]}^{\frac{1}{B+1}}---\left(16\right)$      

特别地，当β₁＝β₂＝0时

      $N_f=N_{o1}+n_1+(1-\frac{n_1}{N_{p1}})N_{p2}---\left(17\right)$      

综上所述，BGA焊点在温循载荷条件1到温循载荷条件2顺序施加下的改进疲劳寿命 预测模型为：

      $N_f=N_{o1}+N_p=k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}1}\right)}^{k_2}+n_1+{\left[\frac{B+1}{A}(a-\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1+1}{n}_1^{{\beta }_1+1})\right]}^{\frac{1}{B+1}}---\left(18\right)$      

式中：$A={\alpha }_2{\left[\frac{{\alpha }_1({\beta }_2+1)}{{\alpha }_2({\beta }_1+1)}\right]}^{\frac{{\beta }_1}{{\beta }_2+1}},B=\frac{{\beta }_1({\beta }_1+1)}{{\beta }_2+1},$k₁,k₂为裂纹萌生阶段相关系数，△W_ave1为 载荷条件1下平均粘塑性应变能密度，n₁为载荷条件1下裂纹扩展阶段循环数，α₁,α₂,β₁,β₂分别为载荷条件1和载荷条件2下裂纹扩展阶段相关系数。

步骤3，结合模型特点确定考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模 型中参数k₁,k₂选用Darveaux模型中给定值，而各载荷条件下对应的参数α,β值由以下方法 确定。

基于循环数与裂纹长度观测试验的参数确定方法：

试验中可直接观测循环数与裂纹长度关系时，用一种载荷条件的试验数据即可求得对应 载荷条件下的α,β，图3为试验记录的q个相同BGA器件在某种温度循环载荷条件下角焊点 (位于器件四角的焊点，通常为热疲劳最先失效之处)观测到的裂纹长度与循环数关系示意 图。

设共进行了p次记录，各记录点对应循环数为n₁,n₂,…,n_p，第i个记录点记录的各样本 裂纹长度为a_i1,a_i2,…,a_iq，则各记录点裂纹长度均值为：

      ${\bar{a}}_i=\frac{1}{q}\underset{j=1}{\overset{q}{\Sigma }}{a}_{\mathrm{ij}}---\left(19\right)$      

n次循环加载后的裂纹长度a(n)与循环数n间的关系为：

      $a\left(n\right)=\frac{\alpha }{\beta +1}{n}^{\beta +1}---\left(20\right)$      

两边取对数，可在对数坐标系中表示为直线关系：

      $\ln a=(\beta +1)\ln n+\ln \frac{\alpha }{\beta +1}---\left(21\right)$      

由最小二乘法知参数α,β的最小二乘估计为：

      $\hat{\beta }=\frac{\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}\ln n_i\ln a_i-p\overline{\ln n\ln a}}{\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}{\left(\ln n_i\right)}^2-p{\left(\overline{\ln n}\right)}^2}-1=\frac{\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}(\ln n_i-\overline{\ln n})(\ln a_i-\overline{\ln a})}{\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}{(\ln n_i-\overline{\ln n})}^2}-1---\left(22\right)$             

      $\hat{\alpha }=(\hat{\beta }+1){\left(\underset{i=1}{\overset{p}{\Pi }}\frac{a_i}{n_i^{\hat{\beta }+1}}\right)}^{1/p}---\left(23\right)$      

此时，用n_i次循环下裂纹长度均值a_i替代式中a_i，并带入n_i即可求得某种温循载荷下改 进模型中参数α,β。

基于循环数与电阻值观测试验的参数确定方法：

IPC等标准及文献常将样本相对阻值漂移10％或20％等定为焊点失效的判别标准。由于 单个焊点阻值很小，试验中常采用检测多个焊点组成的菊花链结构的阻值变化来判别焊点是 否失效。为获得两种载荷条件下对应参数的值，需开展温循载荷条件1、温循载荷条件2、 温循载荷由条件1到条件2加载以及温循载荷由条件2到条件1加载四组试验，获取相关的 失效数据，其具体确定方法如下。

开展新试验前，由单种温循载荷条件下焊点的失效数据带入Darveaux模型可求得对应 条件下焊点的平均寿命，由此可建立下列等式：

      $k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}1}\right)}^{k_2}+{\int }_0^{\overline{N_{f1}}-k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}1}\right)}^{k_2}{\alpha }_1{n}^{{\beta }_1}\mathrm{dn}=\overline{N_{f1}}}---\left(24\right)$      

      $k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}2}\right)}^{k_2}+{\int }_0^{\overline{N_{f2}}-k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}2}\right)}^{k_2}{\alpha }_2{n}^{{\beta }_2}\mathrm{dn}=\overline{N_{f2}}}---\left(25\right)$      

另外，开展温循载荷由条件1到条件2加载以及由条件2到条件1加载的两组试验，将 相应数据带入式(18)，可得如下关系等式：

      $N_{f12}=N_{o1}+N_p=k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}1}\right)}^{k_2}+n_1+{\left[\frac{B_1+1}{A_1}(a-\frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1+1}{n}_1^{{\beta }_1+1})\right]}^{\frac{1}{B_1+1}}---\left(26\right)$      

      $N_{f21}=N_{o2}+N_p=k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}2}\right)}^{k_2}+n_2+{\left[\frac{B_2+1}{A_2}(a-\frac{{\alpha }_2}{{\beta }_2+1}{n}_2^{{\beta }_2+1})\right]}^{\frac{1}{B_2+1}}---\left(27\right)$      

式中，$A_1={\alpha }_2{\left[\frac{{\alpha }_1({\beta }_2+1)}{{\alpha }_2({\beta }_1+1)}\right]}^{\frac{{\beta }_1}{{\beta }_2+1}},B_1=\frac{{\beta }_1({\beta }_1+1)}{{\beta }_2+1};A_2={\alpha }_1{\left[\frac{{\alpha }_2({\beta }_1+1)}{{\alpha }_1({\beta }_2+1)}\right]}^{\frac{{\beta }_2}{{\beta }_1+1}},B_2=\frac{{\beta }_2({\beta }_2+1)}{{\beta }_1+1}.$

将式(25)至式(27)联立可得求解参数β₁,β₂的超越方程组如下：

      $\left(\begin{array}{c}{\left[\frac{1+{\beta }_2+{\beta }_1({\beta }_1+1)}{{({\beta }_2+1)}^2}(1-{\left(\frac{n_1}{N_{p1}}\right)}^{{\beta }_1+1})N_{p2}^{{\beta }_2}{N}_{p1}^{\frac{{\beta }_1+1}{{\beta }_2+1}}\right]}^{\frac{1+{\beta }_2}{1+{\beta }_2+{\beta }_1({\beta }_1+1)}}\\ =N_{f12}-k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}1}\right)}^{k_2}-n_1\end{array}\right)---\left(28\right)$      

      ${\left[\frac{1+{\beta }_1+{\beta }_2({\beta }_2+1)}{{({\beta }_1+1)}^2}(1-{\left(\frac{n_2}{N_{p2}}\right)}^{{\beta }_2+1})N_{p1}^{{\beta }_1}{N}_{p2}^{\frac{{\beta }_2+1}{{\beta }_1+1}}\right]}^{\frac{1+{\beta }_1}{1+{\beta }_1+{\beta }_2({\beta }_2+1)}}$             

      $=N_{f21}-k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}2}\right)}^{k_2}-n_2---\left(29\right)$      

其中$N_{p1}=\overline{N_{f1}}-k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}1}\right)}^{k_2},N_{p2}=\overline{N_{f2}}-k_1{\left(\Delta W_{\mathrm{ave}2}\right)}^{k_2},$可由式(24)、式(25)求出。

由于该方程组为超越方程组，无法求得β₁,β₂的解析式，此时可应用Matlab软件进行计 算求解，其方法如下。

首先编写方程组函数：

function F＝myfun(x)

A＝1；％表示的值。

B＝1；％表示的值。

C＝3；％表示的值。

D＝3；％表示的值。

E＝3；％表示的值。

G＝3；％表示的值。

a＝x(1)；％代表参数β₁

b＝x(2)；％代表参数β₂

F＝[

    (((1+b+a.*(a+1))./((b+1).^2)).*(1-E.^(a+1)).*(D.^b)

     .*(E.^(a+1)./(b+1))).^((1+b)./(1+b+a.*(a+1)))-A；

   (((1+a+b.*(b+1))./((a+1).^2)).*(1-G.^(b+1)).*(C.^a)

     .*(G.^(b+1)./(a+1))).^((1+a)./(1+a+b.*(b+1)))-B；

    ]；

end

其中A,B,C,D,E,G为方程组中常数，可见函数％之后说明，此处随机赋予了量值以便说 明。而a，b为待解的参数β₁,β₂。

编写函数后，应用以下命令可求得β₁,β₂的值。

[x,fval]＝fsolve(@myfun,[00])；

在得到β₁,β₂的值后，可由下式求得参数α₁,α₂的值。

      ${\alpha }_1=\frac{a({\beta }_1+1)}{N_{p1}^{{\beta }_1+1}}---\left(30\right)$             

      ${\alpha }_2=\frac{a({\beta }_2+1)}{N_{p2}^{{\beta }_2+1}}---\left(31\right)$      

综上，可求得模型中温循载荷条件1和载荷条件2下α₁,β₁,α₂,β₂所有参数的值。

步骤4，利用试验数据进行考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模 型的分析验证。

此处采用的试验数据为Darveaux温度循环试验所得循环数与裂纹长度试验数据。试验 分为和两种循环条件，各条件下又可按照裂纹演 化理论分为萌生阶段和扩展阶段，其中各载荷条件下萌生阶段的循环数为根据数据关系图测 算所得，扩展阶段循环数不包含萌生阶段的循环数。具体试验数据如下。

表Darveaux温度循环试验所得循环数与裂纹长度试验数据

步骤401，进行单温度循环载荷下虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预 测模型与Darveaux模型疲劳寿命模型预测结果的对照分析。

按照步骤2和步骤3中推得模型公式，以及Darveaux模型可得两种载荷条件下相应的 表达式如下。

      温循载荷条件下，考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳 寿命预测模型各参数及表达式为：

      ${\hat{\beta }}_1=1.450E-01,{\hat{\alpha }}_1=2.579E-04;$      

      $d{a}_1/d{N}_1=(2.579E-04)*n_p^{1.450E-01},a_1=(2.253E-04)*n_p^{1.145},$N_p1＝763；

拟合相关系数r＝0.984264。

      温循载荷条件下，Darveaux模型各参数及表达式为：

da₁/dN₁＝6.641×10^-4，a₁＝0.000664n_p-0.03294，N_p1＝732；

拟合相关系数r＝0.986766。

利用以上求得的关系式，可得考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测 模型与Darveaux模型的拟合曲线结果，见图4。可以发现两种模型的拟合结果相差不大，相 关系数方面也相差不多，而考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型在 前半部分拟合较好，在后半部分在相同裂纹长度下，该模型预测循环数结果要比Darveaux 模型略高。

      温循载荷条件下，考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳 寿命预测模型各参数及表达式为：

      ${\hat{\beta }}_2=2.643E-02,{\hat{\alpha }}_2=9.927E-05;$      

      $d{a}_2/d{N}_2=(2.643E-02)*n_p^{9.927E-05},a_2=(9.671E-05)*n_p^{1.026},$N_p2＝3744；

拟合相关系数r＝0.992467。

      温循载荷条件下，Darveaux模型各参数及表达式为：

da₂/dN₂＝1.285×10^-4，a₂＝0.0001285n_p-0.01529，N_p2＝3644；

拟合相关系数r＝0.986792。

利用以上求得的关系式，可得考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测 模型与Darveaux模型的拟合曲线结果，见图5。可以发现两种模型的拟合结果相差不大，相 关系数方面也相差不多，考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型在后 半部分在相同裂纹长度下，预测循环数结果要比Darveaux模型略高，但相对误差不会超过 5％。

以上结果可以证明，在单一温度循环载荷条件下，考虑温循载荷顺序加载影响的BGA 焊点热疲劳寿命预测模型足以完成响应的寿命预测工作，其结果与Darveaux模型与测结果 相近，略微偏高。

步骤402，进行温循载荷顺序加载下考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿 命预测模型与Miner理论疲劳寿命预测结果的对照分析。

将上一步求得的参数值带入式(18)中，可得温循载荷条件有高到低顺序加载时 (载荷条件下达到裂纹扩展阶段并在裂纹扩展阶段经历n₁次循环后加 载载荷条件)焊点的疲劳寿命为：

同理，当温循条件由低到高加载时，焊点疲劳寿命为：

以上两式中，a为裂纹最大长度，约为0.453mm；n₁为载荷变化时对应的裂纹扩展循环 数。

根据步骤402分析结果可知，载荷条件下预测的裂纹扩展寿命为 763次循环，裂纹萌生寿命为35次循环，即疲劳寿命为798次循环；而载荷条件下裂纹扩展寿命为3744次循环，裂纹萌生寿命为300次循环，即疲劳寿命为4044 次循环。因此，按照Miner线性累积损伤理论推得不同加载顺序下焊点疲劳寿命分别为：

式中，n₁为载荷变化时对应的裂纹扩展循环数。

由此分别绘制由高到低加载和由低到高顺序加载条件下焊点疲劳寿命曲线，见图6和图 7。可以看出，当由高到低顺序加载时改进的疲劳寿命预测模型计算得出的疲劳寿命要小于 Miner理论结果，若以Miner理论结果为基准，其比值在0.388～1范围内浮动；而由低到高 顺序加载时预测寿命要大于Miner理论结果，若以Miner理论结果为基准，其比值在1～1.769 范围内浮动。而对于不同载荷顺序加载，各学者普遍认可当载荷由高载荷到低载荷顺序施加 时，Miner理论预测的疲劳寿命与试验结果相比偏大，而当载荷由低载荷到高载荷顺序施加 时，Miner理论预测的疲劳寿命与试验结果相比偏小，而且各载荷条件下材料损坏时按Miner 理论计算的实际损伤在0.25～4之间。由此说明了提出的考虑温循载荷顺序加载影响的BGA 焊点热疲劳寿命预测模型得出的焊点在不同温循载荷顺序施加下的热疲劳寿命基本符合各 研究中的试验结果，证实了该疲劳寿命预测模型的合理性和正确性。

此外可以发现，考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型中当裂纹 扩展阶段循环数越小时改进模型预测结果与Miner理论相差越大，这种差异可能由于假设材 料软化仅发生在裂纹萌生阶段而被放大了，实际差异可能会相对小些，因此该模型也有一定 的适用条件，一般认为该疲劳寿命预测模型在第一种温循载荷条件加载达到相对寿命的30％ 以上时较为适用。

步骤5，在上述工作的基础上，完成考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿 命预测方法的构建；

考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测方法，主要由步骤2和步骤所 述内容组成，即考虑温循载荷顺序加载影响的BGA焊点热疲劳寿命预测模型参数的确定以 及模型公式的应用计算，该方法主要适用于两种或两种以上不同温循载荷条件顺序加载的情 况，当第一种载荷条件加载时间较长，超过焊点相对寿命的30％时，应用该方法预测的BGA 焊点疲劳寿命更为准确。